高中数学 1.1.2、3四种命题间的相互关系精品同步导学 新人教A选修11_第1页
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文档简介

1.1.3四种命题间的相互关系1.1.2四种命题..1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构,会写某命题的逆命题、否命题和逆否命题.3.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.4.会利用命题的等价性解决问题..1.结合命题真假的判定,考查四种命题的结构.(重点、难点)2.对条件式的结论进行否定.(易错点)3.理解四种命题的关系.(重点)4.等价命题的应用.(难点)..下列语句中是命题的有

,是真命题的是

.(填序号)①四边相等的四边形是平行四边形;②ax2+bx+c=0是一元二次方程;③2是质数吗?④x2+x+1>0.①②④④.1.四种命题栏目内容名称定义表示形式互逆命题对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的

,那么这样的两个命题叫做

.其中一个命题叫原命题,另一个叫做原命题的

.原命题为“若p,则q”;逆命题为“

”结论条件互逆命题逆命题若q,则p.栏目内容名称定义表示形式互否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

,这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的

.原命题为“若p,则q”;否命题为“

”互为逆否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

,这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的

.原命题为“若p,则q”;逆否命题为“若綈q,则綈p”条件的否定结论的否定否命题结论的否定条件的否定逆否命题若綈p,则綈q.2.四种命题之间的相互关系.3.四种命题的真假性(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况.原命题逆命题否命题逆否命题真真

真假

假真

假假

真假假真真真假假.(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题,它们有

的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性

.相同关系没有.1.命题“若p,则綈q”的逆否命题是()A.若p,则q B.若綈p,则qC.若q,则綈p D.若綈q,则綈p答案:C.2.命题“若a>2,则a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析:若a>2,则a>6是假命题;逆命题:若a>6,则a>2是真命题;否命题:若a≤2,则a≤6是真命题;逆否命题:若a≤6,则a≤2是假命题.答案:B.3.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为________.答案:若a≤b,则2a≤2b-1.4.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.(1)正数的平方根不等于0;(2)当a≤2时,f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递增.解析:(1)原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0.逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数.否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0.逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数..(2)原命题:若a≤2,则f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递增.逆命题:若f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递增,则a≤2.否命题:若a>2,则f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上不单调递增.逆否命题:若f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上不单调递增,则a>2...(2011·陕西高考)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是()A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|C.若|a|≠|b|,则a≠-b

D.若|a|=|b|,则a=-b.解析:命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|,则a=-b”,故选D.答案:D.(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于该平面;(2)如果x>10,那么x>0.[解题过程](1)逆命题:如果直线垂直于平面,那么这条直线垂直于该平面内的两条相交直线;否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于该平面;逆否命题:如果直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直于该平面内的两条相交直线..(2)逆命题:如果x>0,那么x>10;否命题:如果x≤10,那么x≤0;逆否命题:如果x≤0,那么x≤10..[题后感悟](1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)交换原命题的条件和结论,得到逆命题.同时否定原命题的条件和结论,得到否命题.交换原命题的条件和结论,并且同时否定,得到逆否命题..1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实根;(2)“若x=2,则x2+x-6=0”;(3)垂直于同一平面的两直线平行.解析:(1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则m·n<0.否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0..(2)逆命题:“若x2+x-6=0,则x=2”.否命题:“若x≠2,则x2+x-6≠0”.逆否命题:“若x2+x-6≠0,则x≠2”.(3)原命题:若两直线垂直于同一平面,则两直线平行.逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一个平面.否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么这两条直线不平行.逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条直线不垂直于同一平面..分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.(1)若实数a,b,c成等比数列,则b2=ac;(2)函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是减函数时,loga2<0..[策略点睛]

.[解题过程](1)名称命题真假原命题若实数a,b,c成等比数列,则b2=ac真逆命题若实数a,b,c满足b2=ac,则a,b,c成等比数列假否命题若实数a,b,c不成等比数列,则b2≠ac假逆否命题若实数a,b,c且b2≠ac,则a,b,c不成等比数列真.(2)名称命题真假原命题若函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是减函数,则loga2<0真逆命题若loga2<0,则函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是减函数真否命题若函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数,则loga2≥0真逆否命题若loga2≥0,则函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数真.[题后感悟](1)如何写出一个命题的另外三种形式?①分清原命题的条件p和结论q;不是“若p,则q”形式时,最好改写成“若p,则q”的形式;②“若p,则q”与“若q,则p”互逆,与“若綈p,则綈q”互否,与“若綈q,则綈p”互为逆否.(2)如何判断四种命题的真假?互为逆否的命题同真假.特别地,一个命题的“逆命题”和“否命题”互为逆否命题..2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.(1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;(3)若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac<0,则该二次函数图象与x轴有公共点..解析:(1)该命题为假.因为当c=0时,ac2=bc2.逆命题:若ac2>bc2,则a>b,为真.否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,为真.逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,为假.(2)该命题为真.逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互补,为真.否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形,为真..逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对角不互补,为真.(3)该命题为假.∵当b2-4ac<0时,二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点.逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点,则b2-4ac<0,为假.否命题:若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac≥0,则该二次函数图象与x轴没有公共点,为假.逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点,则b2-4ac≥0,为假..判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假..解答本题可先写出已知命题的逆否命题,再利用判别式求出a的范围,然后判断命题的真假,另外也可利用集合的包含关系判断..[规范作答]方法一:原命题的逆否命题:已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.……………4分判断真假如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.………6分因为a<1,所以4a-7<0.………8分即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.………12分.所以“若p,则q”的逆否命题“若綈q,则綈p”为真.即原命题的逆否命题为真.……12分.[题后感悟](1)由于原命题与其逆否命题是等价的,因此当证明原命题感到困难或对原命题不易判断真假时,可考虑证明或判断它的逆否命题是否成立.(2)利用逆否命题与原命题等价,可以省去否定条件和结论时的过程,简化问题的求解..3.证明:已知函数f(x)是R上的增函数,a、b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.证明:证法一:原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).”若a+b<0,则a<-b,b<-a,又∵f(x)在R上是增函数,∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),.即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.证法二:假设a+b<0,则a<-b,b<-a,又∵f(x)在R上是增函数,∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾.因此假设不成立,故a+b≥0..1.正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题一般地用p和q分别表示原命题的条件和结论,用綈p和綈q分别表示p和q的否定,因此,若原命题为:“若p,则q”,则其逆命题为:“若q,则p”;否命题为:“若綈p,则綈q”;逆否命题为:“若綈q,则綈p”..为了便于书写各种命题,当原命题不是“若p,则q”的形式时,应先将命题写成规范形式“若p,则q”,然后再进行书写.例如:写出命题“偶函数的图象关于y轴对称”的逆命题、否命题、逆否命题.由于原命题不是以“若p,则q”的形式给出,因此先把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若函数f(x)为偶函

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