随机过程-特征函数和母

特征函数和母函数1.4特征函数和母函数特征函数是研究随机变量分布律的一个重要工具.由于分布律与特征函数之间存在一一对应关系,因此在得知随机变量的特征函数之后,就可以知道它的分布律.用特征函数求分布律比直接求分布律容易得多,而且特征函数具有良好的分析性质.定义1.10

设随机变量X的分布函数为F(x),则称

g(t)=E(eitX)=,-∞＜x＜+∞

为X的特征函数.特征函数g(t)是实变量t的复值函数,由于|eitX|=1,故随机变量的特征函数总存在.

当X是离散型随机变量,分布列pk=P(X=xk),k=1,2,…时,特征函数g(t)=;

当X是连续型随机变量,概率密度为f(x)时,g(t)=.随机变量的特征函数具有性质:

(1)(有界性).

设g(t)是特征函数,则g(0)=1;|g(t)|≤1;g(-t)=g(t).

(2)(一致连续性).

特征函数g(t)在(-∞,+∞)上一致连续.

(3)(非负定性).g(t)是非负定函数.即对任意的正整数n及任意实数t1,t2,…,tn和复数z1,z2,…,zn有≥0.特征函数证明:==E=E≥0.(4)

若X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,则X=X1+X2+

…+Xn的特征函数g(t)=g1(t)·g2(t)·…·gn(t).其中gi(t),i=1,2,…,n是随机变量Xi的特征函数.证明:

因为X1,X2,…,Xn相互独立,所以也相互独立.因而

g(t)=EeitX=E=E()特征函数

=EE…E=g1(t)·g2(t)·…·gn(t).

(5)

若随机变量X的n阶原点矩EXn存在,则X的特征函数

g(t)的n阶导数存在,且当k≤n时,有g(k)(0)=ikEXk.

(6)(惟一性).

随机变量的分布函数由其特征函数惟一确定(相互).当X为连续型随机变量,且有F’(x)=f(x)及,则

如何求指数分布的g(t)?设f(x)=,求g(t).λe-λx,x≥00,x＜0(Laplace变换)特征函数

因为,g(t)=EeitX=eitxf(x)dx=eitxλe-λxdx=λe-λx(costx+isintx)dx=λe-λxcostxdx+iλe-λxsintxdx=+iλ=(1-)-1.对n维随机变量也可定义特征函数,且有类似于一维随机变量的特征函数的性质.定义1.11设X=(X1,X2,…,Xn)是n维随机量,t=(t1,t2,…,tn)∈Rn,则称g(t)=g(t1,t2,…,tn)=E()为n维随机变量X的特征函数.特征函数例1.1

设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t)及EX,EX2和DX.解:X的分布列为:P(X=k)=pkqn-k,q=1-p,k=0,1,2,…,n.g(t)=eitkpkqn-k=(peit)kqn-k=(peit+q)n.

由性质(5)知

EX=-ig’(0)=-i(peit+q)n|t=0=np;EX2=(-i)2g’’(0)=(-i)2(peit+q)n|t=0=npq+n2p2.DX=EX2-(EX)2=npq.例1.2

设X～N(0,1),求X的特征函数g(t).解:g(t)=.由||=|x|,

＜∞知,对g(t)的表出式可在积分号下求导.求导得:特征函数

g’(t)===--=-t·g(t).

于是得微分方程:g’(t)+t·g(t)=0.

这是一个可分离变量的方程,故有:=-tdt.

两边积分得:lng(t)=-t2/2+c,因而通解g(t)=.

由于g(0)=1,所以c=0.于是X的特征函数:g(t)=.例1.3(特征函数具有线性性)

设随机变量X的特征函数为gX(t),Y=aX+b,其中a、b为任意实数.证明随机变量Y的特征函数gY(t)=eitbgX(at).特征函数证明:gY(t)=E[eit(aX+b)]=E[ei(at)Xeibt]=eibtE[ei(at)X]=eitbgX(at).例1.4

设随机变量X～N(a,σ2),求Y=σX+a的特征函数.解:

设X～N(0,1),则由例1.2知X的特征函数gX(t)=.

令Y=σX+a,则Y～N(a,σ2).由例1.3知,Y的特征函数为

gY(t)=eiatgX(σt)=eiat=.例1.5

设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,求X的特征函数.解:

因为P{X=k}=,k=0,1,2,…,故g(t)=eitk

=e-λ=.特征函数例1.6

证若随机变量X的n阶原点矩EXn存在,则X的特征函数g(t)的n阶导数存在,且当k≤n时有g(k)(0)=ikEXk.(5)证明:

X的n阶矩存在,,X的特征函数

gX(t)=,由于=|x|k,所以有===.

于是得即g(k)(0)=ikEXk.在常见随机变量分布表右栏中,给出了相应的特征函数.例1.7求X2分布的特征函数,数学期望和方差.解:首先:设随机变量X～N(0,1),求X2的特征函数.由定义特征函数有:

=====.接着:求X2分布的特征函数,数学期望和方差.

设X1,X2,…,Xn相互独立且同服从标准正态分布N(0,1),

则X2=服从自由度为n的卡方分布.由上证已知的特征函数为,j=1,2,…,n.X1,X2,…,Xn相互独立,也相互独立.由特征函数性质4得X2的特征函数:特征函数

由的表达式,易知:,;,.再由特征函数的性质5,便得XE(X2)=g’(0)/i=in/i=n;E[(X2)2]=g’’(0)/i2=i2n(n+2)/i2=n(n+2),从而有

D(X2)=E[(X2)2]-[E(X2)]2=n(n+2)-n2=2n..(t)概率母函数母函数是研究非负整数值随机变量非常方便的工具.定义1.12

设X是非负整数值随机变量,分布列

pk=P(X=k),k=0,1,2,…

当|s|≤1时,

则称P(s)=E(sX)=pksk为X的概率母函数,简称母函数.母函数具有以下性质:

(1)非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定.

(2)设P(s)是X的母函数.若EX存在,则EX=P’(1);

若DX存在,则DX=P’’(1)+P’(1)-[P’(1)]2.

(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积.

(4)若X1,X2,…是相互独立且同分布的非负整数值随机变量,N是与X1,X2,…独立的非负整数值随机变量,则

Y=Xk的母函数H(s)=G(P(s)),其中G(s),P(s)分别概率母函数是N,X1的母函数.证明:

(1)P(s)=pksk=pksk+pksk,n=0,1,….

上式两边对s求n阶导数,得

P(n)(s)=n!pn+k(k-1)…(k-n+1)pksk-n.

令s=0,则P(n)(0)=n!pn,故pn=P(n)(0)/n!,n=0,1,2,….

(2)由P(s)=pksk知,P’(s)=kpksk-1.

令s↑1,得

EX=kpk=P’(1).

又由P’’(s)=k(k-1)pksk-2=k2pksk-2-kpksk-2知,当s↑1时,P’’(1)=EX2-EX.但

DX=EX2-(EX)2,所以有

DX=P’’(1)+EX-(EX)2=P’’(1)+P’(1)-[P’(1)]2.概率母函数

(3)设随机变量X=X1+X2+…+Xn,且X1,X2,…,Xn相互独立.因而也相互独立.由数学期望重要性质(2)即知

PX(s)=E(sX)=E()=E()=E()·E()·…·E()=(s)(s)…(s).

(4)H(s)=P(Y=k)sk=P(Y=K,{N=t})sk=P(N=t)P(Y=k)sk

=P(N=t)P(Y=k)sk概率母函数

=P(N=t)P(Xj=k)sk

=P(N=t)[P(s)]t=G[P(s)].

由EX1=P’(1),EY=H’(1),EN=G’(1)及H(s)=G[P(s)]知

H’(s)=G’[P(s)]P’(s)=P’(s)G’[P(s)]

令s↑1,得H’(1)=P’(1)G’[P(1)],但P(1)=E()=E(1)=1,故有EY=EN·EX1(☆).例1.8

设商店在一天的顾客数N服从参数λ=1000人的泊松分布,而每位顾客所花的钱Xi服从N(100,502).求商店的日销售额Y的平均值.解:

由题设知EN=1000,EX1=100,再由(☆)式得

EY=EN·EX1=1000·100=100000(元).概率母函数概率母函数的例

概率母函数的概念在19世纪初由拉普拉斯引入,是概率论中第一个被系统应用的变换方法.运用于处理整值随机变量的场合,既简单也方便.

从pk=1及|s|≤1知,概率母函数对任何整值随机变量都存在.二项分布的概率母函数

P(s)=C(n,k)pkqn-ksk=(q+ps)n.泊松分布的概率母函数

P(s)==e-λeλs=eλ(s-1).几何分布的概率母函数

P(s)=qk-1psk=ps(qs)k-1=ps/(1-qs).概率母函数对概率母函数性质的简释

1.惟一性由概率分布及P(s)=pksk所确定的母函数显然是惟一的.反过来,由概率母函数也能惟一确定随机变量的概率分布.事实上,如果{pk}与{qk}分别具有概率母函数G(s),H(s)且若G(s)=H(s),因G(s)和H(s)均为幂级数,在|s|≤1的条件下绝对收敛,故G(s)与H(s)的k次导数存在,于是有:k!pk=G(k)(0)=H(k)(0)=k!qk所以,对k=0,1,2,…成立pk=qk,即{pk}={qk}.2.概率母函数与数字特征间成立

P’(s)|s=1=E(X);P’’(s)|s=1=E(X2)-E(X).由此式及二项分布,泊松分布等的概率母函数很容易求其期望和方差.概率母函数3.求取二项分布的概率母函数.

解:设在贝努利试验中,A事件出现的概率为p.用Xi=1表示事件A出现,Xi=0表示事件A不出现,其概率q=1-p.于是得到一相互独立的随机序列X1,X2,…,Xn.设Y=X1+X2+…+Xn,则Y服从二项分布.Xi的概率母函数P(s)=q+sp,所以Y的母函数为P(s)=(q+ps)n.从中可以看出,利用概率母函数解决一些古典概型问题往往是很便捷的.

设X1,X2,…,Xn是列非负整值随机变量,P{Xi=k}=fk,

其母函数F(s)=fksk.又若υ是正整数的随机变量,P{υ=n}=gn,其母函数G(s)=gnsn且υ与X1,X2,…,Xn,

…相互独立.概率母函数

定义η=X1+X2+…+Xυ,η是随机个独立同分布非负整值随机变量之和.求η的概率母函数及其数字特征.解:记P{η=r}=hr,由条件概率公式及υ与{Xi}相互独立,

有hr=P{η=r}=P{υ=n}P{η=r|υ=n}=P{υ=n}P{X1+X2+…+Xυ=r|υ=n}=P{υ=n}P{X1+X2+…+Xn=r}

由于X1+X2+…+Xn是n个相互独立同分布非负整值随机变量之和,故其母函数为P{X1+X2+…+Xn=r}sr=[F(s)]n.记η的母函数为H(s)=hrsr,则概率母函数H(s)=[P{υ=n}P{X1+X2+…+Xn=r}]sr=P{υ=n}[P{X1+X2+…+Xn=r}sr]=P{υ=n}[F(s)]n=G[F(s)].可见,随机个相互独立同分布非负整值随机变量之和的概率母函数是原来两个母函数的复合.

于是从H’(s)=G’[F(s)]F’(s)知:当EXi和Eυ存在时,在上式中令s↑1,即有Eη=EυEXi.而从H’’(s)=G’’[F(s)][F’(s)]2+G’[F(s)]F’’(s)及令s=1,得

Dη=Eη2-(Eη)2=H’’(1)+H’(1)-[H’(1)]2=(EXi)2(Dυ)+(Eυ)(DXi).概率母函数其具体的