双曲线的几何性质

课题：1双曲线的几何性质思考回顾

椭圆的简单几何性质

？

1/18/20232①范围;②对称性;③顶点;④离心率等

双曲线是否具有类似的性质呢?一.复习引入

1.双曲线的定义是怎样的？2.双曲线的标准方程是怎样的？1/18/20233一、双曲线的简单几何性质

1/18/20234yB2A1A2B1

xObaM

NQ1.范围:两直线x=±a的外侧2.对称性:

关于x轴,y轴,原点对称

原点是双曲线的对称中心对称中心叫双曲线的中心一.双曲线的简单几何性质1/18/20235yB2A1A2B1

xObaM

NQ1.范围:两直线x=±a的外侧2.对称性:关于x轴,y轴,原点对称;原点是双曲线的对称中心;对称中心叫双曲线的中心3.顶点::(1)双曲线与x轴的两个交A(-a,0),A(a,0)叫双曲线的顶点12(2)实轴:线段AA实轴长:2a

虚轴:线段BB虚轴长:2b1212一.双曲线的简单几何性质

1/18/202361.范围:

yB2A1A2B1

xObaM

NQ2.对称性:3.顶点:实轴,虚轴,a,b的几何意义4.渐进线:(1)渐进线的确定:矩形的对角线(2)直线的方程:y=±－xba

(3)推理证明:双曲线方程可变为

当x

时，方程近似变为 y=

,即双曲线上的点无限接近直线

y=一.双曲线的简单几何性质1/18/20237(1)概念:焦距与实轴长之比yB2A1A2B1

xObaM

NQ5.离心率(2)定义式:e=－ca(3)范围:e>1(c>a)(4)双曲线的形状与e的关系即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.1/18/20238关于X轴、Y轴、原点都对称。

图形方程范围对称性顶点离心率准线(-a,0),B(0,b),B1(0,-b)+b2a2=1(a>b>0)直线x=±a,和y=±b所围成的矩形里A(a,0)A1

e=ac(0<e<1)x=

+

ca2ABoB1A1xy..OABA1B1LL!y2x2xy..1/18/20239双曲线的图形与几何性质(1)双曲线标准方程：YX双曲线性质：1、范围：x≥a或2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴A1A2虚轴B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=双曲线的图形与几何性质(2)双曲线标准方程：1/18/202310YX双曲线性质：1、范围：y≥a或y≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称3、顶点:B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴B1B2;

虚轴A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o1/18/202311例1、如果方程表示焦点在x轴上的双曲线，求m的范围。变形练习

1、若方程表示双曲线，求m的范围。

2、若表示焦点在x轴的椭圆时，求m的范围。解：根据双曲线的性质有：m-1＞02-m＜0解得：m＞2二.应用举例:1/18/202312例2.求双曲线9y–16x=144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.22

解:把方程化成标准方程:－-－=1y16x922故实半轴长a=4,虚半轴长b=3∴c=√16+9=5.________∴e=－54故渐进线方程为:y=±－x431/18/202313

例3.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程.

分析:因焦点在x轴上,故其标准方程可设为:其渐进线方程可知b/a=3/4又因c=4,故可列方程组求出a,b的值.1/18/202314例4:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.证明:(1)设已知双曲线的方程是:则它的共轭双曲线方程是:渐近线为渐近线为:显然,它可化为故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’),F2’(0,-c’),∵∴c=c'YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗∴四个焦点,

在同一个圆1/18/2023151、双曲线2kx2-ky2=1的一个焦点是F（0，4），则K为（）（A）-3/32（B）3/32（C）-3/16（D）3/162、方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是（）AC巩固练习一：1/18/202316巩固练习二：1、双曲线2x2-y2=k的焦距是6，则k的值是（）（A）124（B）（C）（D）32、双曲线的焦点坐标是____________3、若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是______________B-1<m<1,或m>21/18/202317巩固练习3：已知双曲线与椭圆的焦点相同，且他们的离心率之和为14/5，求双曲线的方程。参考答案：椭圆的焦点为（0，±4），离心率为4/5，所以双曲线的离心率为2，设所求的双曲线方程为则c=4，c/a=2，b2=c2-a2，解得a2=4，b2=12，所以所求的双曲线方程为四