测量第七章测量误差与平差2课时

会计学1测量第七章测量误差与平差2课时2

水准测量中，其闭合路线的高差总和往往不等于零;用经纬仪观测同一个水平角，上下半测回的角值完全相同;同一段距离往返丈量的结果也不一定相等。这些差异现象的存在，表明测量观测值中含有误差。测量误差及其来源测量误差的分类及处理偶然误差的特新衡量精度的指标误差传播定律授

课

内

容第1页/共56页3一、测量误差及其来源1、误差(error)定义：观测值与其真实值(即“真值”)之间的差异。公式：

Δi＝li－l(7-1)误差观测值真值第2页/共56页42、测量误差的来源（或原因）观测值中存在误差有下列三方面原因（1）测量仪器测量仪器存在构造上的缺陷或仪器本身精密度有一定限度。例：①水准仪：CC不平行LL②经纬仪:CC不垂直HH③卷尺的尺长（2）观测者感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。例：对中、照准和读数（3）外界条件温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素例：距离丈量；角度和高程测量

第3页/共56页53、观测条件与精度

观测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同，称为等精度观测（equalobservations），观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。

观测条件：观测条件＝观测者＋仪器（工具）＋外界条件

对测量误差的准确理解 误区：误差越小越好，甚至为零。 正确认识：将误差限制在满足测量目的和要求的范围内。极高精度的仪器和极为严格的方法。消耗大量的物力和人力。第4页/共56页6误差不可避免，则学习误差知识的目的：确定最可靠值；评定测量精度；确定误差限度；第5页/共56页7二、测量误差的分类及处理1、误差的分类（1）系统误差(systemerror) Δs（2）偶然误差(accidenterror) Δa（3）粗差(grosserror)

Δg第6页/共56页8（1）系统误差(systemerror)（1）概念：在相同的观测条件下对某一未知量进行一系列观测，若误差在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数。例：量距；水准；角度；（2）来源：①仪器自身的缺陷②观测者的习惯③外界条件（3）特点：积累性——对测量结果影响较大（4）处理方法：①用计算的方法加以改正②用一定的测量方法中以消除③校正仪器第7页/共56页9系统误差举例30m的钢尺，经鉴定其实际长度为30.005m，则用该尺每丈量一整尺就有+5mm的误差，随尺段数成比例地增加，并保持其符号不变。水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数误差，它与视线长度成正比而符号不变。经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。第8页/共56页10（2）偶然误差（accidenterror）定义：在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性；即从表面现象看，误差的大小和符号没有规律性。偶然误差又称为“真误差”。产生原因：观测者感官能力系限制、不可估量因素特点：

①不可避免②具有统计规律③多次观测取平均可以削弱其影响第9页/共56页11偶然误差举例水平角度测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样。水准测量或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样。

注意：偶然误差的出现是不可避免的，其出现纯属偶然性质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观测条件下，进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存在着一定的规律。第10页/共56页12比较：系统误差与偶然误差1、偶然误差大小与符号，无法预知，在发生之前不存在；

2、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律是可以重现的；

3、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体服从统计规律。第11页/共56页13（3）粗差（grosserror）

定义：超出正常观测条件所出现的、且数值超出规定的误差。－－测量中的错误 特征：

1）一种大量级的观测误差；

2）粗差包括测量过程中各种失误引起的误差；

3）含有粗差的观测值都不能使用，该观测值必须舍弃并重测。 处理方法：

1）进行必要的重复观测；

2）增加“多余”的观测约束条件；

3）严格遵守相关测量规范。第12页/共56页14必要提示观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠正、或返工重测。观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型来修正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数/乘常数改正、和气象改正等。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。第13页/共56页15实例：观测误差对模型参数确定的影响理论模型第14页/共56页16观测点位存在偶然误差时，参数求解结果理论模型含偶然误差的点位求得的模型求解出的参数：a=10.2b=4.9第15页/共56页17理论模型含误差的点位求得的模型求解出的参数：a=13b=9.8观测点位存在粗差时，参数求解结果含粗差点位第16页/共56页18（4）总观测误差Δ＝Δg+Δs+Δa(7-2)规范规定：

1）测量仪器在使用前应进行检验和校正；

2）操作时应该严格按照规范的要求进行；

3）应有一定的多余观测量（形成检核条件）；总观测误差中Δs和Δg可以被消除或削弱到很小，此时，可以认为Δ

＝Δa，以后凡是提到误差，通常指偶然误差（或真误差）。第17页/共56页19三、偶然误差特性

从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。

下面，我们从一个实例——多个三角形内角和的误差——来看偶然误差的特性。

第18页/共56页20观测实例观测值：三角形内角和L真值：任一三角形内角和的真值X为180°aibici第19页/共56页21三角形内角和真误差统计表（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多；（2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等；（3）最大误差不超过24″。第20页/共56页22偶然误差的统计规律－－频率直方图横坐标：x＝d纵坐标：y＝(k/n)/d1有限性一定观测条件下的有限观测中，误差的绝对值不超过一定限值。2密集性绝对值小的误差出现的频率大，绝对值大的误差出现的频率小。3对称性绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。4抵偿性当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为零。偶然误差的特点第21页/共56页23偶然误差的正态分布曲线

若将观测次数k无限增大，误差区间（

d）无限缩，则右图矩形顶部形成的折线就逐渐变成一条光滑曲线，此曲线称为“误差分布曲线。”

概率论称为正态分布曲线

数学方程式如下：式中：是偶然误差，σ为与条件有关的参数，数学上称为标准差或均方差。第22页/共56页24由偶然误差的补偿性可知，偶然误差的数学期望为0，则：第23页/共56页25

NeitherPreciseNorAccurate

PreciseButNotAccurate

PreciseandAccurate

两个概念：Accurate

、Precise第24页/共56页26四、衡量精度的指标1、精度定义：对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。甲和乙打靶，甲平均4.5环，乙平均4.3环，满分5环，打靶中谁的精度高？甲乙第25页/共56页272、衡量精度的常用指标

（1）中误差(meansquareerror)

（2）相对中误差(relativeerror)

（3）极限误差（limiterror,或称限差tolerance）第26页/共56页28(1)中误差（m）

方差(Variance)是反映一组观测值离散程度的一个数字指标。其数学定义为：中误差(Standarddeviation)：方差的平方根测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。第27页/共56页29

设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为L1，L2、…，Ln，相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn。则观测值的中误差m为：式中

(7-3)——真误差的平方和，第28页/共56页30

实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量中常用

来表示真误差的估值。即第29页/共56页31例7-1第30页/共56页32例7-2设有1、2两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：甲组：+3″，-2″，-4″，+2″，0″，-4″，

+3″，+2″，-3″，-1″；乙组：0″，-1″，-7″，+2″，+1″，+1″，

-8″，0″，+3″，-1″；解:根据式（7-3）计算1、2两组观测值的中误差为：=±2.7″

=±3.6″

比较m1和m2可知，1组的观测精度比2组高。中误差所代表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次的观测精度。第31页/共56页33第1组：±σ1第2组：±σ2-σ2+σ1+σ2f(△)△-σ1±σ1<±σ2，所以，第1组精度高III第32页/共56页34中误差（m）与标准差（σ）的区别在于观测次数n上！标准差σ表征了一组等精度观测在n→∞时误差分布的扩散特征，即理论上的观测精度指标；中误差m则是一组等精度观测在n为有限次数时的观测精度指标，是标准差σ的估计值。第33页/共56页35中误差（m）与真误差（Δ）的区别

中误差m反映的是一组观测精度的整体指标，而真误差Δi是描述每个观测值误差的个体指标。在一组等精度观测中，各观测值具有相同的中误差，但各个观测值的真误差往往不等于中误差，且彼此也不一定相等，有时差别还比较大，这是由于真误差具有偶然误差特性的缘故。第34页/共56页36(2)极限误差（Δ极限）和容许误差（Δ容）偶然误差的第一特性：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过某一限值。误差在[-σ,+σ]之间的概率P（-σ<Δ<+σ),就是图7-3中阴影部分面积图7-3第35页/共56页37

绝对值大于一倍中误差的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的偶然误差，出现概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差的偶然误差，出现概率为0.3%。第36页/共56页38a、极限误差的意义

绝对值大于3σ的真误差出现的概率很小，因此可以认为±3σ是真误差实际出现的极限。 在等精度观测中

Δ≥1m

概率31.73％

Δ≥2m

概率4.55％

Δ≥3m

概率0.27％第37页/共56页39b、极限误差（容许误差）的设定

在实际测量中，常以2～3倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差。即：Δ容＝2mΔ容＝3m

因此，在测量规范中，为确保观测成果的质量，通常规定以其中误差的两倍或三倍为偶然误差的允许误差或限值。当精度要求较高时，采用两倍中误差作为容许误差。即Δ容

=2m或Δ容=3m超过上述限差的观测值应舍去不用，或返工重测。

第38页/共56页40(3)相对误差

中误差是绝对误差。在距离丈量中，中误差不能准确地反映出观测值的精度。例如丈量两段距离，D1＝100m，m1＝±1cm和D2＝300m，m2＝±1cm，虽然两者中误差相等，m1＝m2，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这时应采用相对中误差mK来作为衡量精度的标准。第39页/共56页41相对误差的意义真误差和中误差都是绝对误差大小，与被测值的大小没有建立关系，仅用这两种精度指标显然无法完全表达精度的水平。为了在精度指标中考虑被测值本身的大小，引入相对误差的概念。第40页/共56页42b.定义 误差Δ的绝对值与相应观测值D的比值。当Δ为中误差m时，K为相对中误差实际距离丈量中的相对真误差（相对误差）第41页/共56页43

相对中误差是中误差的绝对值与观测值的比值，为一无量纲数。通常用分子为1，分母为整数的分数形式表示。在上面所举例中：前者的精度比后者高。第42页/共56页44五、误差传播定律

在测量工作中，有些未知量往往不能直接测得，而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计算出来。由于独立观测值存在误差，导致其函数也必然存在误差，这种关系称为误差传播。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。第43页/共56页451、线性函数的中误差设线性函数式中

k1、k2——常数；x、y——独立直接观测值。

设独立直接观测值x、y相应的中误差为mx、my，函数Z的中误差为mZ。当观测值x、y中分别含有真误差∆x、∆y时，函数Z产生真误差∆z，即（a）（b）第44页/共56页46式（a）减式（b），得：设对x、y

各独立观测了n