奥林匹克物理竞赛之力学解题方法

会计学1奥林匹克物理竞赛之力学解题方法整体法隔离法等效法对称法图像法类比法递推法微元法极限法第1页/共138页一、整体法1．方法简介:从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律的方法。层次深、理论性强，运用价值高。变繁为简、变难为易。2．赛题精讲例1．如图所示，人和车的质量分别为m和M，人用水平力F拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩擦，若人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为多少？点评：五说题意第2页/共138页例2.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是

点评：力偶、力偶臂、力偶矩第3页/共138页例3．有一个直角架AOB，OA水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，OA上套有小环P，OB上套有小环Q，两个环的质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移动一段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比，OA杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是A．N不变，T变大 B．N不变，T变小C．N变大，T变小 D．N变大，T变大点评：第4页/共138页例4.如图所示，质量为M的劈块，其左右劈面的倾角分别为θ1=300，θ2=450，质量分别为m1=kg和m2=2.0kg的两物块，同时分别从左右劈面的顶端从静止开始下滑，劈块始终与水平面保持相对静止，各相互接触面之间的动摩擦因数均为μ=0.20，求两物块下滑过程中(m1和m2均未达到底端)劈块受到地面的摩擦力。（g=10m/s2）点评：

相同时间内，M保持静止、m1和m2分别以不同的加速度下滑，将三个过程视为一个整体过程来研究。答案：劈块受到地面的摩擦力的大小为2.3N，方向水平向右。第5页/共138页例5．如图所示，质量为M的平板小车放在倾角为θ的光滑斜面上（斜面固定），一质量为m的人在车上沿平板向下运动时，车恰好静止，求人的加速度。点评：以车和人组成的系统为研究对象，进行受力分析和运动状态分析，应用牛顿第二定律列方程求解。第6页/共138页例6．如图所示，质量M=10kg的木块ABC静置于粗糙的水平地面上，滑动摩擦因数μ=0.02，在木块的倾角θ为30°的斜面上，有一质量m=1.0kg的物块静止开始沿斜面下滑，当滑行路程s=1.4m时，其速度v=1.4m/s，在这个过程中木块没有动，求地面对木块的摩擦力的大小和方向。（重力加速度取g=10/s2）0.61N，方向水平向左。第7页/共138页例7.有一轻质木板AB长为L，A端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB拉住。板上依次放着A、B、C三个圆柱体，半径均为r，重均为G，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC绳上的张力。点评：1.以谁为研究对象?2.如何计算A、B、C圆柱体对AB板的压力？3.如何求力臂？第8页/共138页以AB板为研究对象，力矩平衡将ABC三个圆柱体看成一个整体，进行受力分析“三力平衡汇交原理”？以AB板的A端为矩心，F的力臂为：力矩平衡第9页/共138页例8．质量为1.0kg的小球从高20m处自由下落到软垫上，反弹后上升的最大高度为5.0m，小球与软垫接触的时间为1.0s，在接触时间内小球受合力的冲量大小为（空气阻力不计，取g=10m/s2） （）A．10N·s B．20N·s C．30N·s D．40N·s点评：将三个阶段作为一个整体来研究取竖直向上为正方向第10页/共138页例9．总质量为M的列车以匀速率v0在平直轨道上行驶，各车厢受的阻力都是车重的k倍，而与车速无关。某时刻列车后部质量为m的车厢脱钩，而机车的牵引力不变，则脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列车的速度是多少？方法一：隔离法对M对M-m①②对m③又④⑤方法二：整体法第11页/共138页例10．总质量为M的列车沿水平直轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱钩，司机发觉时，机车已走了距离L，于是立即关闭油门，撤去牵引力，设运动中阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，求当列车两部分都静止时，它们的距离是多少？方法一：对M设牵引力为F，初速度为v0对M-m关闭油门前关闭油门后对m第12页/共138页方法二：以整体为研究对象

若末节车厢刚脱钩时，机车就撤去牵引力，则它们之间无位移差。

事实上机车多走了距离L才关闭油门，相应的牵引力对机车多做了FL的功。牵引力对机车多做的功FL都干什么了？第13页/共138页例11．如图所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。解析：以整体为研究对象小球下降的最大距离h，则P上升的最大高度为由机械能守恒定律有：第14页/共138页二、隔离法１．方法简介：化大为小，复杂问题简单化２．赛题精讲例1．如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1、m2，A、B间的摩擦因数为μ1，A与地面之间的摩擦因数为μ2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动而B不至下滑，力F至少为多大？点评１．B不下滑的条件—隔离法２．AB一起加速运动—整体法对整体对B第15页/共138页例2．如图所示，用轻质细绳连接的A和B两个物体，沿着倾角为α的斜面匀速下滑，问A与B之间的细绳上有弹力吗？解析：设细绳上有弹力T若T＝０，则由绳的弹力的特点得绳上才有弹力。第16页/共138页变形练习１．其他条件不变，将轻质绳换成轻质杆。２．将A、B“匀速下滑”改为“下滑”，再分轻质绳和轻质杆两种情况讨论。第17页/共138页例3．如图所示，物体系由A、B、C三个物体构成，质量分别为mA、mB、mC。用一水平力F作用在小车C上，小车C在F的作用下运动时能使物体A和B相对于小车C处于静止状态。求连接A和B的不可伸长的线的张力T和力F的大小。（一切摩擦和绳、滑轮的质量都不计）第18页/共138页例4．一带有滑轮的梯形木块A置于光滑水平面上，倾斜面的倾角为，木块A上的物体B用绕过滑轮的轻绳与物体C相连，用一水平向左的拉力F作用在物体B上，恰使A、B、C保持相对静止。如图，已知物体A、B、C的质量均为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，试求拉力F？并讨论为何值时F可有最大值？最大值为多少？解析：对整体对B对C求极值得？第19页/共138页例5．如图所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的1/4，各处的摩擦都不计，求挡板对圆柱体的作用力的大小。点评：对细杆，隔离法，力矩平衡对圆柱体，隔离法，共点力平衡第20页/共138页例６.在光滑水平面上有质量均为m=150g的四个球A、B、C、D，其间以质量不计、不可伸长的1、2、3三条细线相连。最初，细线刚好张直，如图所示，其中∠ABC=∠BCD=1200。今对A球施以一个沿BA方向的瞬时冲量I=4.2Ns后，四球同时开始运动，试求开始运动时球C的速度。点评：1.每条线的张力对其两端的球的冲量关系2.每条线两端球的速度大小关系3.动量定理在二维空间的应用第21页/共138页解析：设在外力冲量I作用的瞬时，三条细线内出现的张力对其两端球的作用的冲量大小分别为I1、I2、I3，又设运动后小球D的速度大小为v，显然其方向应沿着D指向C的方向，由动量定理有：则C球运动的速度沿DC方向的分量也为v（？）以C球为研究对象，设其沿CB方向的速度分量为vC2，由动量定理有：联立以上三式得：第22页/共138页则B球速度沿CB方向的分量也为7v/2。以B球为研究对象，由动量定理有得设B球速度沿BA方向的分量为vB1，以B球为研究对象，由动量定理有：得则A球沿BA方向的速度大小也是13v，以A为研究对象，由动量定理有：得代数求解得：再以C球为研究对象，设其瞬间速度大小为vC，其受到的总冲量为IC，由矢量关系可知：所以有：第23页/共138页令C球的速度方向与CB方向的夹角为α，则有：第24页/共138页三．等效法2．赛题精讲例1.如图所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A和B，相距为d，一个小球以初速度v0从两墙之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ。1．方法简介将一个情境等效为另一个情境将一个过程等效为另一过程将一个模型等效为另一个模型将一个物理量的计算等效为另一个物理量的计算第25页/共138页例2．质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度。点评：将非匀变速直线运动等效为匀变速直线运动。第26页/共138页方法二第27页/共138页例3．一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2=?老鼠从A点到达B点所用的时间t=？点评：模型二：弹簧弹力与形变量成正比此题还有其他解法，详见图像法和类比法。模型一：汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比

将老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动

第28页/共138页例4．如图所示，小球从长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程。解析：将碰撞所损失的动能等效为克服摩擦力所做的功，计算等效摩擦力设第一次碰撞前后速度v、v1，第一次碰撞后上升距离为L1碰撞中损失的动能等效摩擦力第29页/共138页点评：1.几类典型的等效（1）结果的等效——等效法的前提条件（2）过程的等效——将一个物理过程等效为另一物理过程（3）情境的等效——将一个物理情境等效为另一物理情境（4）模型的等效——将一个模型等效为另一个模型（5）物理量的等效——由已知的物理量等效出其他的物理量第30页/共138页2.摩擦力做功的特点（1）静摩擦力可以做正功、负功和零功；（2）动摩擦力可以做正功、负功和零功；（3）摩擦力做功的大小与位移无关，而是等于摩擦力与路程的乘积；（4）一对相互作用的滑动摩擦力总是做负功，大小为摩擦力与相对路程的乘积；（5）摩擦生热；（6）物体沿斜面下滑，物体克服摩擦力所做的功与斜长、斜高及斜面倾角无关；3.多次相互作用的问题的一般解题思路和方法详见递推法第31页/共138页例5．如图所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设L和α已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，求其周期为多少？双线摆，怎样等效？第32页/共138页例6．如图所示，由一根长为L的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小的自由振动。如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期。怎样等效？解析：将此异形复摆等效为一周期相同的单摆，设该单摆的摆长为L0由机械能守恒定律有第33页/共138页例7.如图所示，固定的光滑水平绝缘轨道与竖直放置的光滑绝缘的圆形轨道平滑连接，圆形轨道处于水平向右的匀强电场中，圆形轨道的最低点有A、B、C、D四个小球，已知，A球带正电，电量为q，其余小球均不带电．电场强度，圆形轨道半径为R=0.2m．小球C、D与处于原长的轻弹簧2连接，小球A、B中间压缩一轻且短的弹簧，轻弹簧与A、B均不连接，由静止释放A、B后，A恰能做完整的圆周运动．B被弹开后与C小球碰撞且粘连在一起，设碰撞时间极短．g取10m/s2，求：(1)A球刚离开弹簧时，速度为多少？(2)弹簧2最大弹性势能．EORBACD21第34页/共138页点评：1.“最高点”的确定2.机械能守恒吗？3.弹簧弹性势能最大的理解（1）（2）第35页/共138页例8．如图所示，空间直角坐标系原点O处有一正点电荷Q，A为一无限大接地平板，到Q的距离为d，试计算点P（x,y,z）处的场强大小。解析：设在x轴上距离原点为2d处放置一负点电荷-Q则P点的场强计算等效为两点电荷场强在该点的叠加。点评：六大电场的电场线分布图第36页/共138页四、对称法1．方法简介：避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。2．赛题精讲例1．沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h，距离墙壁的水平距离为s。小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s，如图所示。求小球抛出时的初速度。第37页/共138页点评：第38页/共138页例2.如图所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A和B，相距为d，一个小球以初速度v0从两墙之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ。第39页/共138页例3．A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。此题还可以用递推法求解，见后。第40页/共138页例4．如图所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m，内外半径几乎同为R。槽内A、B两处分别放有一个质量也为m的小球，AB间的距离为槽的直径。不计一切摩擦。现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB方向的速度v，试求两小球第一次相距R时，槽中心的速度v0。解析：以槽中心为坐标原点，建立图示直角坐标系设槽中心沿x轴正方向运动的速度变为v0

，两小球相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动

A球：系统在x轴方向上动量守恒、机械能也守恒

当两球间距离为R时，

第41页/共138页例5．用一轻质弹簧把两块质量各为M和m的木板连接起来，放在水平上，如图所示，问必须在上面木板上施加多大的压力F，才能使撤去此力后，上板跳起来恰好使下板离地？用弹簧形变的“对称性”求解点评：若用拉力F作用在m上，欲使M离地，拉力F至少应为

根据弹簧的拉伸和压缩过程具有的对称性，故要产生上述效果，作用在m上的向下的压力应为

第42页/共138页方法二：机械能守恒方法第43页/共138页例6．如图所示，OABC是一张水平放置的桌球台面，取OA为x轴，OC为y轴，P是红球，坐标为（x，y），Q是白球，坐标为（x1，y1）（图中未画出）。已知OA=BC=25dm，AB=OC=12dm。若P球的坐标为：x=10dm，y=8dm处，问Q球的位置在什么范围内时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球？第44页/共138页点评：1.镜像坐标的确定P1（10，－8），P2（－10，－8），P3（－10，32），P4（60，32）设Q点的坐标为直线QP4的方程为D点在此直线上

2.简析第45页/共138页直线DP3的方程为(?)E点在此直线上，YE=12

直线EP2的方程为

F点在此直线上,XF=0

直线FP1的方程为

G点在此直线上，YG=0

第46页/共138页反弹点位于相应台壁上的条件为作直线：结论：若Q球位于下方的三角形D0AH0内，即可同时满足上两式的条件，瞄准P4击出，可按题目要求次序反弹后击中P球，三角形D0AH0三个顶点的坐标如图所示。第47页/共138页五、图像法

1．方法简介：直观、形象、简明。2．赛题精讲例1．一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。AB两地相距s，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为多少？第48页/共138页点评：典型的直线运动模型物体从静止出发做匀加速直线运动，到达某一地点或某一时刻突然改为匀减速直线运动直到静止。第49页/共138页例2.如图所示，平板A长为L=5m，质量M=5kg，放在水平桌面上，板右端与桌边相齐。在A上距右端s=3m处放一物体B（可以看成质点），其质量m=2kg。已知A、B间的动摩擦因数μ1=0.1，A与桌面间和B与桌面间的动摩擦因数都是μ2=0.2，原来系统静止。现在在板的右端施一大小一定的水平力F，作用一段时间后，将A从B下抽出，且使B最后恰停于桌的右侧边缘。取g=10m/s2，求：（1）力F的大小为多少？（2）力F的最短作用时间为多少？第50页/共138页解析：（1）如图所示，设B在C点处与A脱离，则B的运动显然为先匀加后匀减，初速度和末速度均为零。以B为研究对象，设其加速阶段的加速度、时间和位移分别为a1、t1和s1，减速阶段分别为a2、t2和s2，最大速度为V①②③④⑤⑥联立以上六式求解得：第51页/共138页以A为研究对象，设t1时间内，其位移为S，加速度为a联立以上各式代数求解得：F=26N第52页/共138页（2）由于B的运动的限制，A必须在C处与B脱离，且A的速度应不小于V（2m/s）设以外力F’拉板A，作用时间T后即撤去此外力而使得A的运动满足上述条件（请同学们描述A的运动情况）；设其加速阶段的加速度a’1

、末速度为V’，减速阶段的加速度为a’2，加速时间为T，则减速时间为t1-T联立以上三式求解得：第53页/共138页取T=1.5s，则V’=3.52m/s，此时在力F’的作用下，A的加速度为综上所述，本题的答案为：力F的大小：力F的最短作用时间为1.5s第54页/共138页例3.甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图像如图所示。两图像在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是

第55页/共138页例4.一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为，则A．a1>a2B．a1=a2

C．a1<a2D．不能确定第56页/共138页tvVAVCVB①②③0第57页/共138页例5．一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2=?老鼠从A点到达B点所用的时间t=?提示：以距离s为横轴，1/v为纵轴，建立直角坐标系第58页/共138页例6.现有一质量分布均匀的直杆，绕通过垂直于直杆的水平转轴的转动可以构成一个复摆。复摆的周期为，其中m为直杆的质量，g为重力加速度，h为转轴到直杆质量中心的距离，I为复摆对转轴的转动惯量。按照力学原理，复摆对转轴的转动惯量可以表示为，其中k为直杆绕通过质量中心且垂直于直杆的水平转轴的回转半径。下表为实验中测量的一组(h,k)值，请用图像法求细杆的k的取值和实验室当地的重力加速度。1.561.511.501.531.541.590.200.250.300.350.400.45第59页/共138页解：由

用表中数据在方格坐标纸上作图，描出实验数据（黑点）（2分），画出拟合直线（1分）；找出两个拟合直线上的点（0.05，0.53），(0.19，1.09)（两个“”，尽量取为某一格上的点）（1分）。求斜率得2分第60页/共138页1分所以重力加速度为

1分拟合直线在轴上的截距为1分则回转半径为1分第61页/共138页六、类比法1.方法简介：根据两个研究对象或两个系统在某些属性上类似而推出其他属性也类似的思维方法，是一种由个别到个别的推理形式。2.赛题精讲例1．如图所示，AOB是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角α=10。现将一质点在BOA面内从A处以速度v=5m/s射出，其方向与AO间的夹角θ=600，OA=10m。设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与OB面及OA面的碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求：（1）经过几次碰撞质点又回到A处与OA相碰？（计算次数时包括在A处的碰撞）（2）共用多少时间？第62页/共138页解析：（1）第一次碰撞入射角（与光的反射类比）第二次碰撞入射角

因此每碰一次，入射角要减少1°，即入射角为29°、28°、…、0°，当入射角为0°时，质点碰后沿原路返回。包括最后在A处的碰撞在内，往返总共60次碰撞。（2）

从O依次作出与OB边成1°、2°、3°、……的射线，从对称规律可推知，在AB的延长线上BC′、C′D′、D′E′、……分别和BC、CD、DE、……相等，它们和各射线的夹角即为各次碰撞的入射角与直角之和.碰撞入射角为0°时，即夹角为90°时开始返回。故质点运动的总路程为一锐角为60°的Rt△AMO的较小直角边AM的二倍。第63页/共138页例2．类比法是学习和研究物理常用的重要思想方法，是根据两个研究对象或两个系统在某些属性上的类似，而推出其他属性也类似的思维方法。某同学在学习和研究电阻与电容时有如下两个猜想与假设：第一，电阻的定义式为R=U/I，电容器电容的定义式为C=Q/U，显然两式中U相同，Q与I可以类比。可否为电容器引入一个新的物理量，定义为C’=1/C=U/Q，这样C’就可以与R类比？第二，下图中图a是一无限多电阻连成的网络，每个电阻的阻值均为R，通过分析和计算该同学得到A、B两点间的总电阻为。下图中图b为一无限多电容器连成的网络，若其中每个电容器的电容均为C，则此网络A、B间的等效电容CAB的表达式是怎样的呢？下面是该同学给出的四个可能的表达式，也许计算过程你不会，但按照该同学的思路进行类比分析，你应该能对下面的四个表达式做出正确的判断。第64页/共138页第65页/共138页例3．一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2=?老鼠从A点到达B点所用的时间t=?解析：由速度的定义式有：初速度为零的匀加速直线运动如何类比？蚂蚁问题中的t和L分别类比为初速为零的匀加速直线运动中的s和t.而1/k相当于加速度a。

第66页/共138页例4．有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h。同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h，在水中游的速度为2.0km/h，问此人能否追及小船？点评：光的折射定律与全反射费马原理：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此可以证明，光在平面分界面上的折射是以时间为极小值的路程传播。此题通过类比可转化为光的折射问题求解！如图所示，船沿OP方向被刮跑，设人从O点出发先沿湖岸跑，在A点入水游到OP的B点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。第67页/共138页

在这最短时间内，若船还未到达B点，则人能追上小船，若船已经通过了B点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达B点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速vm。根据正弦定理

又小船实际速度只有2.5km/h，所以人能追上小船。第68页/共138页七．递推法2．赛题精讲例1．质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程。1．方法简介：数学归纳，求出通项或通式点评：1.质点的运动特点？2.几个特殊的数列求和？第69页/共138页简析：（1）……第70页/共138页（2）……友情提示：第71页/共138页例2．小球从高h0=180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小1/n(n=2)，求小球从下落到停止经过的总时间和通过的总路程.（不考虑空气阻力，g取10m/s2）点评：1.每次起跳速度…2.每次起跳高度…第72页/共138页通过的总路程

经过的总时间

第73页/共138页例3．A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：设在一个极短的时间Δt内，猎犬做直线运动，正三角形边长依次变为a1、a2、a3、…、an。第74页/共138页例4.一列重载列车静止在站台上，车头与各节车厢的质量相等，均为m。若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析：设列车车头牵引力为F，依题意有设倒退后挂钩间存在△s的宽松距离，则

车头起动时

拉第一节车厢时

拉第二节车厢时

第75页/共138页例5．有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图所示，人至少做多少功？第76页/共138页例6．如图所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi(i=1、2、…、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）。将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力。解析：以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图所示。（i<6）再以A6B6为研究对象，受力情况如图所示。

第77页/共138页例7．用20块质量均匀分布的相同光滑积木，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木长度为L，横截面是边长为h(h=L/4)的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值。解析：将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为:第2块相对第3块的最大伸出量

同理：总跨度：跨度与桥孔高的比值为

？第78页/共138页例8．如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n(n=1,2,3,…）。每人只有一个沙袋，x>0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x<0一侧的每个沙袋质量m’=10kg。一质量为M=48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行，不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍。（n是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？第79页/共138页解析：（1）小车经过第一个人身旁时当小车运动到第2人身旁时

设第n个沙袋抛上车后的车速为vn

同理若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有

解不等式组所以，空车出发后，车上堆积了3个沙袋时，车就反向滑行第80页/共138页（2）当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当车向左运动到第n个人身旁时

同理设抛上n+1个沙袋后车速反向，则有

即即抛上第8个沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋第81页/共138页例9．如图所示，一固定的斜面，倾角θ=450，斜面长L=2.00米，在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零，下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数μ=0.20，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。解析：设第i次开始下滑时，小球距档板为si,由此可见每次碰撞前后通过的路程是一等比数列，其公比为2/3

所以：第82页/共138页例10．如图所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2和m3，m2=m3=2m1。小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，m2和m3静止，m1以初速沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T。点评一：弹性碰撞点评二：情境分析第83页/共138页第84页/共138页m1与m2弹性碰撞

解析：同理，m2与m3弹性碰撞

m3与m1弹性碰撞

如图所示，设从球1运动开始到1与球2碰撞所用时间为t1，球2被碰后到球3与球1碰撞所用时间为t2，碰后球1到达球2初始位置所用时间为t3第85页/共138页例11．有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上，每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着，现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度。错解分析：解析：

设第（n-1）个木块被拉动时的速度为vn-1，它即将拉动下一木块时的速度为增加为v’n-1，则由动能定理有：①绳子拉动第n个木块，由动量守恒定律有②第86页/共138页当n=2时

当n=3时

当n=4时

…所以：第87页/共138页例12．如图所示，质量m=2kg的平板小车，后端放有质量M=3kg的铁块，它和车之间动摩擦因数μ=0.50。开始时，车和铁块共同以的速度v0=3m/s，向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程。解析：设每次与墙碰后车的速度分别为v1、v2、v3、…、vn、…车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s1、s2、s3、…、sn、….以铁块运动方向为正方向，在车与墙第(n-1)次碰后到发生第n次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有第88页/共138页车与墙碰后做匀减速直线运动，由运动学公式有：所以车运动的总路程第89页/共138页例13．10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图所示，每个木块的质量m=0.40kg，长度l=0.45m，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ2=0.10，原来木块处于静止状态。左方第一个木块的左端上方放一个质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ1=0.20，现突然给铅块一向右的初速度v0=4.3m/s，使其在大木块上滑行。试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）。重力加速度g取10m/s2，设铅块的长度与木块相比可以忽略。解析：铅块M在木块上滑行所受到的滑动摩擦力

设M可以带动木块的数目为n，则n满足

即取n=2第90页/共138页设铅块刚离开第8个木块时速度为v，则M在第9个木块上运动如图所示

对M对第9及第10个木块

设M刚离开第9个木块上时速度为v’，而第10个木块运动的速度为V’，并设木块运动的距离为s，则M运动的距离为s+l，有：第91页/共138页再设M运动到第10个木块的边缘时速度为v”，这时木块的速度为V”，则：

故M不能滑离第10个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上。第92页/共138页例14．如图所示，质量为m的长方形箱子，放在光滑的水平地面上，箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底间无摩擦。开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v0从箱子的A壁处向B处运动，后与B壁碰撞。假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，

（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？点评：1.系统水平方向动量守恒

2.每一次碰撞过程中动能的损耗3.平均速度第93页/共138页解析：（1）滑块与箱壁碰撞，设碰后滑块对地速度为v，箱子对地速度为u，由于题中每次碰撞的e是一样的，故有即碰撞n次后

①第n次碰撞

②第94页/共138页第n次碰撞后，系统损失的动能因为要求的动能损失不超过40%，故n=4。第95页/共138页（2）设A、B两侧壁的距离为L，则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间在这段时间，箱子运动的距离

第96页/共138页八．微元法1．方法简介：“元过程”2．赛题精讲例1．将一质量为m的质点由地球表面移到无穷远处，这一过程中克服引力做多少功？已知地球质量为M，地球的半径为R，万有引力常为G。点评：1.变力做功的计算2.怎样建立元过程？第97页/共138页解析：…方法一:第98页/共138页方法二：点评：3.能量转换关系与引力势能第99页/共138页附例：（2010年五校联考题12分）卫星携带一探测器在半径为3R(R为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR(n略小于3)，求卫星与探测器的质量比。（质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量）点评：1.第一宇宙速度与第二宇宙速度的推导2.关键语句“探测器恰能完全脱离地球的引力”的正确理解3.开普勒定律的应用4.本题的解题思路第100页/共138页解析：设地球质量为M,卫星质量为m，探测器质量为m’，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律得设分离后探测器速度为v’，探测器刚好脱离地球引力应满足设分离后卫星速度u，由机械能守恒定律可得第101页/共138页由开普勒第二定律有

nRv近=3Ru⑥联立解得由分离前后动量守恒可得(m+m’)v=mu+m’v’⑧⑦联立以上各式求解得：评分参考：本题12分。①②式各1分，③式2分，④式1分，⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分。第102页/共138页例2．如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ，试求铁链A端受的拉力T。第103页/共138页例3．某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为vA，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图所示，求它经过远日点B时的速度vB的大小。第104页/共138页例4．如图所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？点评：几个基本问题（1）人可不可能匀速或匀加速运动？（2）当人中途停下时，船的速度多大？（3）人的全程位移大小为L吗？（4）以船为参考系，动量守恒吗？第105页/共138页方法一：微元法取微元——极短时间系统动量守恒①即②即又③第106页/共138页方法二：质心运动定理系统合外力为零，所以质心不变。初状态末状态又第107页/共138页例5．半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图所示。若平衡时弹性绳圈长为，求弹性绳圈的劲度系数k。解析：先看俯视图在弹性绳圈平面内，取微元Δm，其对应的圆心角为Δθ，则△m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F

设△m在平面内所受合力为T，则有：当θ很小时

所以：①第108页/共138页再看主视图△m受重力△mg，支持力N，二力的合力与T平衡

弹性绳圈的半径

②解得弹性绳圈的张力

设弹性绳圈的伸长量为x

所以绳圈的劲度系数

第109页/共138页例6．一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。解析：如图所示，在圆环上取一微元△L，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为

设圆环对它的张力为T，同上例

因为△θ很小

所以：第110页/共138页例7．一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？点评：1.链条对地面的压力=落到地面链条的重力？2.链条能看成质点吗？该如何处理？解析：设链条线密度为ρ，t~t+△t时间内，有△M=ρ△x

落到地面上静止

？第111页/共138页例8．一根均匀柔软的绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，如图所示，当左边绳端离钉子的距离为x时左边绳长

速度

右边绳长

又经过一段很短的时间△t以后，左边绳子又有一小段转移到右边去了长度质量由动量定理第112页/共138页例9．如图所示，半径为R的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M、m。设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度。点评：1.什么叫法向？2.什么叫支持力线密度？解析：在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L，△L所对应的圆心角为△θ，如图所示第113页/共138页例10．粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R和r的两圆环相切。若在切点放一质点m，恰使两边圆环对m的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：如图所示，过切点作直线交大小圆分别于P、Q两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元由于△α很小

所以△m1、△m2与m的万有引力分别为

第114页/共138页例11．一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？解析：

选取在△t时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F

由动量定理有：由牛三定律和平衡条件有：由动能定理有：所以：第115页/共138页例12．如图所示，小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子穿过环O′，绳的两端分别系在A′点和O环上，设环O′以恒定速度v向下运动，求当∠A′

O′O=α时，环O的速度。解析：设经历一段极短时间△t，O′环移到C′，O环移到C，自C′与C分别作为O′O的垂线C′D′和CD，从图中看出因△α极小，所以EC′≈ED′，EC≈ED从而OD+O′D′≈OO′－CC′

由于绳子总长度不变，故OO′－CC′=O′C′

第116页/共138页九．极限法1．方法简介：极大和极小或极左和极右

2．赛题精讲例1．如图所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物块可能获得的最大动能为

。mg=kx

第117页/共138页例2．如图所示，倾角为α的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β。解析：第118页/共138页例3．从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？解析：

当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则有：该点坐标：几何条件第119页/共138页例4．如图所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速度及对应的发射仰角。解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是计算水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。水流的运动学方程：第120页/共138页例5．如图所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为μ，人和铁板间摩擦因数为μ’，且μ’

>>μ

。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少？点评：铁板朝人跑动方向移动最大距离的条件？解析：设人跑动的最大加速度为a1，则有：设人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度分别为v和v’

设人和铁板一起运动的加速度为a2，则有第121页/共138页例6．设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）解析：

发射时：进入轨道后：E1=E2

（1）如果r=R0，所需发射速度最小为（2）如果，

第122页/共138页例7．如图所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC=3R/8，半球重为G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体，它与半球平在间的动摩擦因数μ=0.2，求无滑动时物体离球心O点最大距离是多少？解析：设物体距球心为x时恰好无滑动，如图所示，则有

第123页/共138页例8．有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h1=2L/5（L为杆长），要使杆不滑倒，