大学物理振动和波

会计学1大学物理振动和波

振动是一种十分普遍的运动形式。其主要特征是物理量随时间作周期性变化。波是振动在空间的传播，同时也是能量的传播。尽管产生各类振动、波动具体机制不同，但可以分析研究它们的共同特征、波动方程和普遍性质。本章主要研究机械振动和机械波，但其中的很多规律都适用于其他波。第五章振动和波第1页/共79页☆简谐振动的基本规律；简谐振动的合成。☆平面简谐波波动方程；惠更斯原理及波的叠加原理，波的干涉。☆机械振动和机械波的应用。本章要点第五章振动和波第2页/共79页第一节简谐振动振动一个物理量随时间t

作周期性变化：“周期性”是这种运动形式的典型特征机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。第3页/共79页弹簧振子(springoscillator)的例子一根轻弹簧连接一个质点，置于光滑水平面上。k

为劲度系数(coefficientofstiffness)小幅振动满足胡克定律：F=kx物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。

由牛顿第二定律：kx=ma一、简谐振动(Harmonicvibration)的运动方程第一节简谐振动第4页/共79页第一节简谐振动令微分方程的解就是运动方程:上式即：ma+kx=0

或：这样的运动规律符合简谐函数形式，叫做简谐振动(simpleharimonicvibration)

。第5页/共79页A—振幅(amplitude)离开平衡位置的最大位移。三个重要的特征量

—角频率

（或称圆频率）(angularfrequency)在2秒时间内完成全振动的次数。—初相

(initialphase)反映初始时刻振动系统的运动状态。第一节简谐振动二、简谐振动的特征量第6页/共79页振动的相位(phase)(t+)称为振动的相位，t=0时刻的相位为初相。1.用“相位”描述物体的运动状态。2.用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”。频率：1秒内完成全振动的次数，单位：Hz。周期T：完成一次全振动所经历的时间,单位s。频率与周期(frequency&period)第一节简谐振动第7页/共79页速度和加速度以上两式表明，速度和加速度随时间的变化也满足简谐运动的规律，但与位移有相位差：速度超前位移π/2，加速度与位移反相振动曲线xtoA-AT第一节简谐振动第8页/共79页简谐振动的动力学方程物体作简谐振动的动力学方程判别简谐振动的依据：1.运动表达式为x=Acos(t+)

，其中A

、

和

是常数。2.作用力的形式为F=kx

，k

为常系数。3.动力学方程可写成ω2，其中ω2为常系数，其平方根即为角频率。第一节简谐振动第9页/共79页

决定于振动系统的动力学性质，叫做系统的固有角频率。前述的弹簧振子例子：A

，

决定于系统的初始条件(t=0)在0~2π内为多值函数，注意取舍！第一节简谐振动第10页/共79页yxP旋转矢量的模为A，t=0时，旋转矢量与x轴的夹角为，旋转矢量的角速度为

。矢量端点在x

轴上的投影点作简谐振动！旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态。第一节简谐振动三、简谐振动的矢量图示法第11页/共79页单摆(simplependulum)在小幅振动时：Ol

smgT第一节简谐振动第12页/共79页复摆(complexpendulum)令*（C点为质心）第一节简谐振动第13页/共79页简谐振动的能量振子动能振子势能——振子的总能量为常量！第一节简谐振动第14页/共79页txtE1、简谐振动系统的机械能守恒。2、简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。EpEk第一节简谐振动第15页/共79页势能和动能的平均值简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一半。第一节简谐振动第16页/共79页第二节简单的非理想振动阻尼振动（dampedvibration）F0mkxf第17页/共79页小阻尼过阻尼临界阻尼阻尼振动曲线第二节简单的非理想振动第18页/共79页系统受周期性外力的作用受迫振动(ForceVibration)f0mkxfrF=F0sint第二节简单的非理想振动第19页/共79页A无阻尼小阻尼当策动力的频率等于振动系统的本征频率时，振幅A取极大值，产生共振。共振(Resonance)第二节简单的非理想振动第20页/共79页第三节简谐振动的合成声源1声源2PP

点的运动就是两个同方向振动的合成1.两个同方向、同频率简谐振动的合成一、同方向简谐振动的合成第21页/共79页若两个x

方向的简谐振动的角频率都是同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动：x第三节简谐振动的合成第22页/共79页合振动的振幅与初相x第三节简谐振动的合成第23页/共79页相互加强与相互减弱1.若两振动同相2.若两振动反相合振幅最大合振幅最小第三节简谐振动的合成第24页/共79页

两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）

1.求合振动的振幅。2.求合振动的振动表达式。两个简谐振动同方向，同频率=2π/T，反相合振动振幅：合振动初相：xxTt合振动的振动表达式：例解第三节简谐振动的合成第25页/共79页2.两个同方向、不同频率简谐振动的合成

因为振动频率不同，参与合成的两个振动的相位差不再恒定，因此，合成的旋转矢量的长度和转动角速度也将不断改变，合成后的运动不再是简谐振动，如图所示。ty

教材中还给出了上述两个简谐振动在另外两种不同初相位差情况下的合成运动曲线——与初相位差还有关系！21第三节简谐振动的合成第26页/共79页考虑两个频率非常接近、振幅相等、初相位相同的振动合成：因为频率差很小，所以上述表达式可看成振幅随时间缓慢变化的近似谐振动——拍现象。拍(beat)、拍频(beatfrequency)第三节简谐振动的合成第27页/共79页拍振动曲线拍：振动的振幅作周期性变化的现象。拍频：振动的振幅变化的频率。x1x2xttt减弱减弱加强第三节简谐振动的合成第28页/共79页两个频率相同的简谐振动在相互垂直的两个方向上：yx求两者的合振动：消去t得到上式为椭圆方程，注意上式与两者的相位差有关。二、相互垂直简谐振动的合成第三节简谐振动的合成第29页/共79页同频率不同相位差的合运动轨迹第三节简谐振动的合成第30页/共79页两个相互垂直的简谐振动的频率成简单整数比，此时的合振动具有稳定封闭的轨迹图形：李萨如图形李萨如图形(LissajousFigure)第三节简谐振动的合成第31页/共79页非简谐振动——任意的周期振动x=x(t+T)=x(t)

，以ω=2π/T为其振动角频率，例如方波u(t),ω称为基频。tu(t)0TT/2-T/2-TU-U一、非简谐周期振动的傅里叶分解、不连续谱第四节振动的分解、频谱第32页/共79页周期振动的傅里叶分解上述傅里叶级数中的系数b0、b1、c1…等是常量，代表了相应的简谐振动在合振动x(t)中所占的比重。例如，前述方波，就可以分解为以下的傅里叶级数：

即该方波分解成了基频ω、倍频3ω、5ω…等无穷多个简谐振动的合成。第四节振动的分解、频谱第33页/共79页方波的频谱——不连续谱tu(t)0TT/2-T/2U-Utu(t)0T/2-T/2方波基频ω和三倍频3ω

参与合成时的波形0ω强度3ω5ω9ω11ωω…第四节振动的分解、频谱第34页/共79页x(t)可以是一段有限长度的波列，也可以是非周期性的运动，都可以对它们进行傅里叶分析。此时的傅里叶分解的频率可以从零到无限大的任意连续值。G(ω)叫做x(t)的傅里叶变换。x(t)叫做G(ω)的傅里叶逆变换。tωtω强度频谱的概念二、一段有限波列的分解、连续谱第四节振动的分解、频谱第35页/共79页两个条件：波源(wavesource)（振动）、弹性介质(elasticmedium)第五节简谐波机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.一、机械波(mechanicalwave)的产生和传播第36页/共79页☆机械波的传播需有传播振动的介质;☆电磁波的传播不需介质。机械波和电磁波的不同之处两类波的共同特征☆都是振动状态的传播☆都是能量传播☆都能发生反射、折射、干涉、衍射第五节简谐波第37页/共79页质点的振动方向和波动的传播方向垂直，交替出现波峰和波谷。横波(TransverseWave)质点的振动方向和波动的传播方向平行，疏密相间。简谐波(HarmonicWave)介质中各质点都作简谐振动。纵波(Longitudinalwave)第五节简谐波第38页/共79页机械波的传播特征1.波动是振动状态的传播。介质中各质点在平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。2.波动是相位的传播。在波的传播方向上，各质点的振动相位依次落后。3.波动是能量的传播。xy第五节简谐波第39页/共79页波线：表示波的传播方向的直线。波阵面：振动相位相同的点组成的面。波前：某一时刻最前面的波阵面波线、波阵面、波前球面波波源波前波线u波阵面平面波波线波前u波阵面第五节简谐波第40页/共79页描述波动的重要物理量：波长、波速波长：在同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距离。波长反映了波动在空间上的周期性。xy

波的周期T：波前进一个波长的距离所需的时间。波的频率：周期的倒数，

=1/T周期和频率反映了波动在时间上的周期性。第五节简谐波第41页/共79页波速u

：振动的传播速度。在一个时间周期T内波向外传播了一个空间周期λ，因此波速为：波速和波长由介质的性质决定，而波的频率与介质的性质无关，由波源决定。第五节简谐波第42页/共79页介质中波前上各点都可以当作新的波源，发出球面子波，在其后的任一时刻，这些子波的包络就形成新的波前。惠更斯（Huygens）原理：O球面波的传播平面波的传播第五节简谐波第43页/共79页平面简谐波：波阵面为平面的简谐波。xyO设平面简谐波以速度u沿Ox方向传播。已知t=t0

时的波动情况，要给出波线上任意坐标x

处的质点P的位移y

随时间t

的变化规律——波动方程y(x,t)的函数形式。uPt=t0

时刻第五节简谐波二、波动方程第44页/共79页设

O

点的振动表达式为：振动从

O

点传波到P

点需时间

t=x/u

，所以：t时刻在x处的P点的振动情况与O点处的t＋t时刻的情况相同，因此P点的运动表达式应该为：xyOuPt=t0

时刻t+t时刻第五节简谐波第45页/共79页沿x

轴正方向传播的平面简谐波的波动方程也可改用周期T、频率ν和波长λ表示：第五节简谐波第46页/共79页沿x

轴负方向传播的平面简谐波的波动方程xyOuPt=t0

时刻第五节简谐波第47页/共79页u若已知x0

点的振动表达式同样可得在

x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程：xyOPx0第五节简谐波第48页/共79页波动方程的物理意义1.体现波动在时间上和空间上都具有周期性2.分别用x=x1、x=x2

（定值）代入，得x1、x2

点的振动表达式第五节简谐波第49页/共79页在波的传播方向上，两定点x1和x2的振动相位依次落后，相位差为:在波线上，对应一个波长的间距，相位差为2π.3.用t=t1（定值）代入，得t1

时刻的波形图：yxoλ

t1

t1+Δt

uΔtu第五节简谐波第50页/共79页波动方程的微分形式平面波的波动方程：1.由平面简谐波的波函数对x

和t

求偏导数可得这一方程，但方程的解并不仅限于平面简谐波的波函数。前述的简谐波的表达式只是它的一个解。2.任何物理量

y，不管是力学量、电学量或其他量，只要它与时间和坐标的关系满足这一方程，则这一物理量就按波的形式传播。方程中的u

就是这种波的传播速度。第五节简谐波第51页/共79页

已知

t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿x正向传播，在t=0.5s时波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，试根据图示条件求波动方程和P

点的振动表达式。（已知A=0.01m）y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu第五节简谐波例解根据图中信息和题给数据，得到一些基本量：第52页/共79页设坐标原点振动表达式：根据初始条件，y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu因此O点振动表达式：第五节简谐波第53页/共79页所以，可得波动方程：P点振动表达式：第五节简谐波第54页/共79页机械波传播到弹性介质中某处，该点介质由不动到振动，因而具有动能，同时该点介质将产生形变，因而具有弹性势能。介质由近及远地振动，相应地，能量向外传播。设有一平面简谐波，以波速u在密度为ρ的均匀介质中传播。在介质中取体积为ΔV、质量为Δm=ρΔV的介质元，波传播到此体元时，体元具有动能Ek和势能Ep。

1.波的能量第五节简谐波三、波的能量第55页/共79页介质元的总机械能：介质元的总机械能随时间作周期性变化，表明对任意介质元，都在不断的接受和放出能量——

波动传递能量，波是能量传播的一种形式。可以证明：第五节简谐波第56页/共79页平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。机械波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方及介质的密度都成正比。2.能量密度(volumedensityofenergy)能量密度：单位体积内波的总能量。第五节简谐波第57页/共79页能流密度(energyfluxdensity)在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的波的平均能量，即为能流密度I，也叫波的强度：uuS单位时间内通过介质中某面积的能量称为通过该面积的能流。在图中垂直于波速u方向取面积S，单位时间内通过S面的能量，等于体积uS中的能量。则一个周期内通过S的平均能流为。它是表征波动中能量传播的一个重要物理量。第五节简谐波第58页/共79页试利用能流密度的概念求出球面波的表达式。

设在t1时刻球面波到达r1处，即球面波的波前是半径为r1的球面(面积S1=4r12)，在t2时刻波前半径是r2(面积S2=4r22)

。设介质本身不吸收能量，则单位时间内通过S1面的能量，必然通过S2。因此有如下等式：式中的A1和A2分别表示两球面波的振幅。由上式可得：即球面波的振幅与离开波源的距离成反比。波动方程可为：第五节简谐波例解第59页/共79页几列波可以保持各自的特点（频率、波长、振幅、振动方向等）同时通过同一介质，即波的传播具有独立性。在叠加区域内，任一质点振动的位移是各列波单独存在时在该点产生的位移的合成。叠加过后原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。第六节波的叠加原理、波的干涉一、波的叠加原理(superpositionprinciple)第60页/共79页干涉现象:几列波在相遇的叠加区域内，某些点的振动始终加强，而另有一些点的振动始终减弱。S1S2相干条件：1.波的振动频率相同，2.振动方向相同，3.振动相位相同或有恒定的相位差。能产生干涉现象的两列波叫做相干波（coherentwave）。二、波的干涉(interference)第六节波的叠加原理、波的干涉第61页/共79页设有两相干波源S1、S2，振动方程为：两波在P点相遇，振动分别为：S1S2r2r1P两振动在P点的合成后的方程为：其中：注意到A的大小与有关！第六节波的叠加原理、波的干涉第62页/共79页当：合振幅最大：

，干涉加强！干涉加强条件对于初相相同的相干波源，上述条件可简化为：其中δ的意义为波程差当：合振幅最小：

，干涉减弱！干涉减弱条件第六节波的叠加原理、波的干涉第63页/共79页干涉加强条件从波程差δ=r1-r2角度考虑波的干涉：干涉减弱条件当两个初相相同的相干波源发出的波叠加时：波程差等于波长整数倍的各点，合振动振幅最大，干涉加强；波程差等于半波长奇数倍的各点，合振动振幅最小，干涉减弱。波的干涉是波的重要特征，在光学、声学、现代信息工程、近代物理等许多学科中有着重要的应用。第六节波的叠加原理波的干涉第64页/共79页频率相同、振动方向相同、振幅相同而传播方向相反的两列波相叠加，形成驻波。驻波是一种特殊的干涉现象。绳设两列波的方程为沿正方向传播：沿负方向传播：两列波重叠处的合振动为：第六节波的叠加原理波的干涉三、驻波(standingwave)第65页/共79页1.此表达式不表示行波，它表示了各个不同位置处（坐标x）的点在不同时刻的振动情况。2.注意到不同位置处各质点做不等幅但同频率的简谐振动，并且在某些点处的振幅为零，形成波节，在某些点处的振幅最大，形成波腹。3.驻波没有能量的定向传播。合运动——驻波的表达式第六节波的叠加原理波的干涉第66页/共79页驻波的波形特征1.两个波节（或波幅）的间距为/2。同一段上的各点的振动同相，而隔开一个波节的各点的振动反相。波节波腹x振幅大小的包络线第六节波的叠加原理波的干涉第67页/共79页半波损失（halfwaveloss）

在介质的分界面处出现波节，必须入射波和反射波在分界面处的相位相反。

考虑绳子两端固定的驻波：当波从一种介质垂直入射到第二种介质时，如果第二中介质的密度与波速的乘积大于第一中介质的密度与波速的乘积（前者称波密介质，后者称波疏介质），即2u2>

1u1，则分界面处将出现波节，这时入射波与反射波在分界面有π的相位突变，从波长的角度考虑有λ/2的波长差，此现象称半波损失。B

（b）

波疏

波密λ/2B

（a）

波密

波疏第六节波的叠加原理、波的干涉第68页/共79页第七节声波和超声波＃(可闻)声波(soundwave)：频率范围20～20000Hz内的声振动。＃超声波(ultrasonic)：频率高于此范围。＃次声波(infrasound)：频率低于此范围。声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波。

第69页/共79页声强级公式：单位用分贝(decibel,dB)表示：

声强：声波的能流密度。它是单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量。即：I=A22u

。

人耳是很灵敏的感觉器官，所能感受的声音的强度范围非常大，数量级相差1012倍。如：1000Hz声音，10-12W·m-2<I<1W·m-2，它也无法将这样大范围的声音由弱到强分辨出1012个等级来。在声学中使用对数标度来量度声强，叫声强级（I.L.）。I0=10-12W·m-2，是闻阈的声强，因此闻阈的声强为0dB，而痛阈的声强为120dB.注意：声强级不能用代数相加。

一、声强和声强级第七节声波和超声波第70页/共79页引起人听觉的声强范围：第七节声波和超声波第71页/共79页当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当火车离开站台，听到的笛声频率降低。

波源与观察者之间有相对运动时，观察者接受到的波的频率R与波源的振动频率s不同，这种现象称为多普勒效应。机械波的多普勒效应称为经典多普勒效应。第七节声波和超声波二、多普勒效应(Dopplereffect)第72页/共79页Svo观察者