大学物理 质点力学

会计学1大学物理质点力学第一章质点运动学本章核心----质点运动方程1.基本概念:质点,坐标系,位置矢量,

位移,速度,加速度.2.掌握位移,速度,加速度之间的关系.

即:已知其一能求出其它两个量.第1页/共64页

第一章质点运动学

§1.1

质点参照系坐标系一、质点只有质量而没有形状与大小的理想物体。

可以将物体抽象为质点的两种情况：

1、物体不变形且不作转动（此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任意一点的运动可以代表所有点的运动）。

2、物体本身的线度和它的活动范围相比小得很多（此时物体的形变及转动显得并不重要）。第2页/共64页二、参照系

三、坐标系

为了定量地确定质点在空间的位置而固定在参照系上的一个计算系统。

（直角坐标、球坐标、极坐标、柱面坐标等)

1、运动的绝对性：任何物体都处于运动（包括机械运动）和变化当中，绝对静止不动的物体是没有的。

2、运动的相对性：对任何一个物体的运动状态的描述都是相对于另外一个参考物体而言的，即任何一个物体的运动都是相对于另一个物体的运动。因此要描述一个物体的运动，就必须选择另一个物体作为参考，这个被选作参考的物体就称为参照系。第3页/共64页参照系与坐标系的区别——对物体运动的描写决定于参照系而不是坐标系。参照系选定后，选用不同的坐标系对运动的描写是相同的。ZXY日心系地心系地面系o第4页/共64页

§1—2描述质点运动的基本物理量一.位置矢量与运动方程设P点的坐标为(x,y,z),由坐标原点指向P点的有向线段称谓P点的位移矢量(位矢)R=xi+yj+zk222大小:r=x+y+zP(x,y,z)xzy0αβα方向:=cosxr;cosβ=yr质点运动时,它的位矢(r)也随时间变化,因此r也是时间的函数,即:r=r(t),位矢随时间变化的关系叫运动方程运动学的主要任务之一就是写出各种运动的运动方程.第5页/共64页1、运动方程即位置矢量随时间的变化关系2）匀速率圆周运动：ωω{x=cossintty=RR例：21）斜抛运动：vvcossin000θθ12{ttx=xyy=gt0++z=()txx=)(t=)(tyyz,,或：2、轨迹方程即运动质点所经过的空间径迹。从运动方程中消去时间t可得轨迹方程。第6页/共64页rrrABzxyABO_AB()ixx__AABB(())jk++yyzz=ijk++zxy=位移：反映位置矢量变化的大小和方向。r=++222zxy大小：方向：ycoscoscosβγ===rrrxza路程：质点所经路径的总长度。二、位移r=第7页/共64页三、速度j++dd=dtdddttikxyzvk=vvij++xzyΔrtttv=lim0Δ=ddrΔΔΔΔΔΔΔtttv=i++kjxyzΔrtΔ=2、瞬时速度（速度）在质点由A到B的过程中（所用时间为，所发生的位移为），单位时间内的平均位移称为该质点在该过程中的平均速度。1、平均速度描述位置矢量随时间变化快慢的物理量当趋于零时平均速度的极限值。第8页/共64页说明：1、速度具有矢量性、瞬时性、相对性大小：方向：当t趋近于零时位移的极限方向βγVycoscoscos===VVVVxVza2、注意速度与速率的区别平均速率瞬时速率ΔrrrABΔs第9页/共64页四、加速度描述速度随时间变化快慢的物理量xABrrABvvvΔAvAByzo1、平均加速度j++dd=dtdddttikVxVyVzak=aaij++xzy2、瞬时加速度（加速度）第10页/共64页例1

一质点沿一直线运动,其加速度为a=-2x,式中x的单位为m,a的单位为,试求该质点的速度v与位置坐标x之间的关系.设当x=0时,解:由题意积分得故:第11页/共64页例2.

质点P在一直线上运动,其坐标X与时间t有如下关系:X=Asinωt(SI)(A为常量)(1)任意时刻t时质点的加速度a=(2)质点速度为零的时刻t=例3.质点以速度m/s作直线运动,沿质点运动方向作ox轴,并已知t=3s时,质点位于x=9m处,则该质点的运动学方程为:第12页/共64页

一、直线运动规律运动方程：位移(大小)：加速度(大小)：=t（）xxx==ddddtta22vΔx速度(大小)：=ddtxv—割线斜率（平均速度）—切线斜率（瞬时速度）dtdxtΔΔx二、直线运动的几何描述法§1.3直线运动及其几何描述法1、x~t

图xttt11220xxx~t

图第13页/共64页v~t

图线下的面积（位移）:12ttt120vvvv~t

图切线斜率：dtdv=a割线斜率：tΔΔv=a2、v~t图3、a~t

图第14页/共64页tatt120a~t

图a~t

图线下的面积（速度增量）三、运动学的两类问题第一类问题（求导问题）：rr=()t求：轨迹已知：=aa=vv()t(t)、、第二类问题（积分问题）：va=(t)a=(t)rr=(t)v求：已知：、第15页/共64页注意：在求解第二类问题过程中还必须已知在t=0时刻质点的速度及位置坐标，这一条件称为初始条件。初始条件：t=0{xyyzzx======000vvvvvv000xxyyzz例：一质点作直线运动，其加速度为一常量a，求其运动规律。已知在t=0

时刻，其x=x0，v=v0。解：=ddtav=ddtxvax=ddt22vvat=+0第16页/共64页12xxvtat=++002

§1.4曲线运动一、运动叠加原理

原理一个运动可以看成是由几个各自独立进行的运动叠加而成。

如：抛体运动可以看成是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。0v第17页/共64页vvΔΔΔΔrrrr==vv二、圆周运动1、匀速率圆周运动0rrrABΔΔABAvvvvθθvvta的方向：当Δ0时，Δ的方向是速度增量当Δ0t时的极限方向。aΔΔrrrt==limΔt02vvvΔΔt=alim0Δt第18页/共64页2、变速圆周运动AΔ0rvvvBABvvvAABΔΔΔn0tvvvvvΔΔΔΔΔaaann==++limlimt0ttΔt0tttΔΔΔn=+vvvnv由于Δv方向的变化而引起的速度增量由于Δtvv大小的变化而引起的速度增量第19页/共64页aaannntt==ττ++rdd2vv与=tgθaantaθv的夹角aantaθv3、任意曲线运动0nρvaddt=tvaρ2n==vρ—曲率半径第20页/共64页4、圆运动的角量描述θ

角位置θ角位移ΔBΔθθA0xΔ（1）、角位置，角位移（2）、角速度ωΔθθ=limΔΔt0t=ddtΔθω=Δt第21页/共64页（3）、角加速度limωtt===βΔ0ΔΔddωtddθt22β=ΔωtΔ（4）、匀变速率圆周运动第22页/共64页（5）、线量和角量的关系rω=vΔΔrθ=sΔΔttttΔrθ00=ΔslimlimΔΔrΔθsΔωr=vΔΔΔΔΔωrtttt=limlim00ΔΔΔvrat=βωrrra222==vnωra2=n第23页/共64页角量与线量的对应关系角位移θ

角速度ω角加速度βω=ωο+βt

ω²-ωο²=2

βθ

θ=

θο+ωοt+½βt²……力矩M线位移x线速度υ线加速度aυ=υο+at

υ²-

υο²=2asx=xο+υοt+½at²……力F[线量=角量×半径]第24页/共64页例.雷达与火箭发射台的距离为,观测沿竖直方向向上的火箭,如图,观测得θ的规律为θ=kt(k为常量),试写出火箭的运动方程,并求出当θ=π/6时,火箭的速度和加速度.0y解:建立如图坐标系,则当时第25页/共64页

例人以恒定速率v0运动，船之初速为0。求:任一位置船之速度、加速度。=rxhijrrxh22==+rxxxxhhtttdddd2222===++dd0vrxttdddd==ivhtii=addd=dx22=x3022vvttdtdrxxh2==ii+dd=0x2vvvh0rXYx解：第26页/共64页rrr车地XXYYZZ雨P0vv地雨雨v,,,车地车vv车,,地雨地=+0rrrvvv=+0vvv=+车车地地雨雨,,,rrrttt=+dddddd0§1.5相对运动第27页/共64页aaa=+车车地地雨雨,,,小结核心：怎样描述质点的运动？两类问题：求导问题、积分问题（运动方程）位置位移速度加速度直线运动（几何描述）一般曲线运动（自然坐标系）（角量描述）圆周运动相对运动第28页/共64页例.一人骑自行车向东而行,速度为10m/s,觉得有南风;速度增至15m/s,觉得有东南风.问:风得实际速度为多少.解:北南东西10545º1555θ510大小:方向:第29页/共64页第二章质点动力学本章核心----牛顿定律的应用常见的三种力：重力，弹力，摩擦力；2.根据受力分析情况选合适的坐标系；3.根据坐标系应用牛顿定律列方程求解。第30页/共64页

第二章质点动力学

§2.1牛顿运动定律一、牛顿运动定律

提出了惯性和力两个概念①、惯性：任何物体都有的保持其运动状态不变的性质就是惯性，它反映了物体改变运动状态的难易程度，质量是物体惯性大小的量度。

1、牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速运动状态，直到受其它物体对它作用为止。（惯性定律）②、力：物体之间的相互作用，它是改变物体运动状态的原因，而不是保持运动状态的原因。力的三性是一致性（性质）、成对性（作用与反作用）与同时性。第31页/共64页

2、牛顿第二定律

物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。

阐述了在力的作用下物体运动状态变化的具体规律，确定了力、质量和加速度之间的定量关系。注①、力指合力、外力、所受的力，因此牛顿定律也可写成：第32页/共64页④、具有瞬时性。

③、只适用于低速质点运动。高速时m在变化，牛顿定律一般写成：

②、表达式为矢量式，可分别分解到X、Y、Z轴以及切线和法线方向上。如：第33页/共64页3、牛顿第三定律两物体之间的作用力和反作用力沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。注同一性质，分别作用在两个物体上，具有同时性，不能抵消。二、惯性系力学相对性原理1、惯性系：牛顿定律成立的参照系称为惯性系,牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系（要在此参照系中应用牛顿定律必须引入惯性力）。

一般将地球作为参照系，相对于地球上述例子牛顿定律成立，相对于地球有加速度的参照系都不是惯性系，或者说有加速度的参照系均为非惯性系。地球也是一个近似惯性系，在研究天体运动时就不能将地球看作是惯性系。第34页/共64页2、力学相对性原理：一个相对于惯性系作匀速直线运动的参照系，其内部的一切力学过程，都不受到系统作为整体的匀速直线运动的影响，也就是说，不能借助于惯性系中的任何力学实验，来判断其本身的匀速直线运动。相对于惯性系作匀速直线运动的一切参照系都是惯性系，从力学规律来说一切惯性系都是等价的（并不是说不同惯性系中看到同一力学现象结果都相同，而是指牛顿定律以及由牛顿定律导出的规律在惯性系中具有相同的形式）。三、牛顿定律的应用1、常见的三种力

①、重力：万有引力的一个分力，重力和重量是两个不同的概念。

当支持物静止或沿铅直方向作匀速直线运动时，则P=P'；第35页/共64页②、弹性力：相互接触的两个物体之间，由于发生弹性形变而引起的力。如压力、支持力、拉力等都属于弹性力。弹簧的弹性力在弹性范围内满足胡克定律，即f=kx。③、摩擦力：相互接触的两个物体之间由于相对滑动或有相对滑动趋势而产生的一种阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力。注：摩擦力并不一定是阻力，在不少情况下它是动力，即摩擦力不一定作负功。当支持物一加速度a匀加速上升时，则

P=mg<P’=m(g+a)（超重）；当支持物以加速度a匀加速下降时，则

P=mg>P’=m(g-a)（失重）；当支持物以加速度g作自由落体运动时，则P=mg,P'=0。第36页/共64页解得：θ=cos（）gω21lωTmgnθτnrml

[

例2]

一圆锥摆，已知：ω,θl求：nTsincosmgaθ==0Tθna=2r=sinθ2=rωlvvvm第37页/共64页

[

例

3

]

一小钢球，从静止开始自光滑圆柱形轨道的顶点下滑。求：小球脱轨时的角度θθmgNτnRt=0mθ。mgmmgmcossindtdvθN==θR(1)(2)2vθcossinsinddddddtdtdvdvθθθ====2gθRRRggθθ00dv()1θ=2(3)vvvvv第38页/共64页N=脱轨条件：0cosθ由(3)、(4)可解得：=23θ=arccos()23mgmcos=2θR由式(1)得：(4)v第39页/共64页它受到一阻力

[

例4

]

一质点从坐标原点出发沿x

轴作20vv=v(t),x=x(t)作用,直线运动，初速为v试求:a解：====dtdtdtdx22ddmmm000t11+tvvvvvvvvaaa=dtm+x00dxt10tv=+10xmln()tmvaaa第40页/共64页

§2.2冲量和动量

一、冲量

按照以上定义，冲量是一个特殊的与物体的运动过程有关的过程量。它是力的一种时间累积效应。

按照以上定义，动量是一个特殊的由物体的运动状态所决定的状态量。物体可以通过改变其动量而对另一物体施加特殊的影响（即产生冲量）。二、动量第41页/共64页FFFFΔΔΔΔtttt1122iinnI讨论：（1）冲量的方向和瞬时力的方向不同（如右图所示）。IFitt12tF0x+xxyyIFIF==dtdttt12tt12tF~xxI

（2）分量在数值上等于图线与坐标轴所围的面积。第42页/共64页

三、动量原理上式为动量原理的微分形式。两边积分后得到动量原理的积分形式：mvF=dtd()vvtt1212=mvmv12

动量原理——某物体在某过程中所受合外力的冲量等于该物体在该过程中动量的增量。F=dtdmv()第43页/共64页txFdtt12=mvmv12xxyFdttt12=mvmv12yy讨论：（1）动量原理的分量形式为：（2）定义平均冲力如下：Fttt120xFx（3）由动量原理可知，合外力对物体所产生的冲量由物体的始末状态决定而与中间过程无关。因此，动量原理对打击等问题特别有效。此时，时间短而冲力大，重力等往往可以忽略。第44页/共64页

[

例1

]

质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下，它与工件的碰撞时间为=0.01s,求：打击的平均冲力。Nmgh0mmv工件m解一：对碰撞过程应用动量原理τ====2gh0NNmgmg))((0m0m2ghτ+××661.66101+0030.()Nvv第45页/共64页解二：对整个过程应用动量原理=τNNmgmg())(00++tmg=1.69=tτ1×610()NNmgh0mmv工件m第46页/共64页ΔΔNNNNmvmvmvmvmgmgcoscossinΔtttxxyy====2.0+0.2=+()()cos02mv(N)=2.2(N)sinaaaaavvYXNNNxymgaa

[

例2

]

一小球与地面碰撞×3-1m=210kgvv=600,==5.0ms.碰撞时间求:平均冲力。0.05st=a第47页/共64页问题：由TTMMMMMMmmmmmΔΔΔtttmvmvmv++((()))====解：ggg0002gh0、vvv统动量是否守恒？所组成的系mhMmM0MgmgTTvvv

[

例3

]

已知M，m，htΔ。。求：绳子拉紧后，M与m的共同速度。子与m,M

之间的相互作用时间为绳子拉紧瞬间绳第48页/共64页

四、动量守恒定律)+vv331122mmv++))(d=FFFmtd3++21(v321123)))mmmvvFFF123()))(((((dddd===tttddf12ff32++++fff132331++21m)iiv=F(ΣdtdiΣ可得系统的动量原理为：ffffff131223323112321F2F3F1图中：

1.系统的动量原理：对如图所示的质点系中的各质点应用动量原理的微分形式：第49页/共64页2.系统的动量守恒定律：根据系统的动量原理可知：当系统所受的合外力为零时，系统的总动量守恒。即：m)iiv=F(ΣdtdiΣ=0mvΣ()iiC讨论：

动量守恒定律是矢量形式，但也可以在分量方向上应用。即若在某方向上合外力为零则在该方向上动量守恒。第50页/共64页

§2.3功和能一、功和功率1.元功和功

：drFaab

按照以上定义，功是一个特殊的与物体的运动过程有关的过程量。它是力的一种空间累积效应。力在作用点位移方向的分量和位移大小的乘积第51页/共64页讨论：（1）合力功：各力之和的功等于各力之功的和。F(x)xdx0示功图F12xx

（2）功在数值上等于示功图曲线下的面积。

A=xxF(x)dxx122.功率:单位时间上的功。第52页/共64页

二、动能和动能定理1.动能

：

按照以上定义，动能是一个特殊的由物体的运动状态所决定的状态量。物体可以通过改变其动能而对另一物体施加特殊的影响（即对其作功）。所以，动能（以及任何其他形式的能量）就是物体所具有的作功本领的大小的量度。第53页/共64页2.

动能定理

——某物体在某过程中所受的合外力对该物体所作的功等于该物体在该过程中动能的增量。第54页/共64页TTFcossinmg==00θθ{dsFFFFcoscoscosmgtg======θdsLdθdA.dsθLθdθmgtgθLθθd解得：......θθddsθFmgTmL

[

例1

]

有一单摆，用一水平力作用于m使其缓慢上升。?求:此力的功。00当由增大到θθ时，第55页/共64页

三、保守力的功势能1、保守力的功yx0yyaabbdrP重力的功：dAmgdydr===P.(+mgj).(dxidyj)mgdyyy==()Aabmgmg重力所作的功取决于物体始末两点的位置而与路径无关。第56页/共64页弹力的功x自然长度弹簧XF0Fkx=Fkxdxdx==dAkxkxdx==abbaA()1221kx22xx弹力所作的功取决于物体始末状态而与过程无关第57页/共64页万有引力的功rabθrdsF太阳地球MmrdrabrMmGF=2=dAFds.rθcosMmMmrGGsinθ===()22Fdsds90+0