变化率问题 及导数的概念

会计学1变化率问题及导数的概念早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。牛顿莱布尼茨第1页/共31页背景介绍

微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。第2页/共31页第3页/共31页1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵.2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵.（重点）第4页/共31页探究点1变化率问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么第5页/共31页当V从0增加到1L时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1L增加到2L时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

显然0.62>0.16我们来分析一下:第6页/共31页思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?解析：第7页/共31页hto问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?第8页/共31页hto解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10第9页/共31页

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里的运动状态.第10页/共31页这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)平均变化率定义:上述问题中的变化率可用式子表示.称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)第11页/共31页观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率第12页/共31页

在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

又如何求瞬时速度呢?探究点2导数的概念第13页/共31页

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度解：第14页/共31页△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,当△t=–0.00001时,当△t=0.00001时,当△t=–0.000001时,当△t=0.000001时,…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?第15页/共31页

当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值–13.1.

从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1m/s.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度第16页/共31页表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.为了表述方便，我们用第17页/共31页局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.那么,运动员在某一时刻的瞬时速度为第18页/共31页探究:运动员在某一时刻t0

的瞬时速度怎样表示?第19页/共31页导数的概念:函数y=f(x)在x=x0

处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0

处的导数,记作或,即第20页/共31页总结提升第21页/共31页求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求值一差、二比、三极限第22页/共31页

例将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时,原油的温度(单位:)为y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,第23页/共31页所以,同理可得

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.第24页/共31页1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-ΔxD2.如图，函数y=f（x）在A，B两点间的平均变化率是（

）A.1 B.-1C.2 D.-2B第25页/共31页【解析】3.求y=x2在x=x0附近的平均速度.4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.【解析】第26页/共31页析】.【第27页/共31页2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)(2)计算平均变化率1.函数的平均变化率第28页/共31页3.求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(