北师大选修空间向量运算的坐标表示张

会计学1北师大选修空间向量运算的坐标表示张第1页/共30页一二三思考辨析一、向量加减法和数乘的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),即空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和.(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),即空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差.(3)λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R),即实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积.(4)若b≠0,则a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(5)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差.第2页/共30页一二三思考辨析名师点拨1.空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,只是由二维变成了三维,所以空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似.2.理解共线向量定理的条件和结论,在用坐标表示时,要注意等价变形.3.已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若b1,b2,b3都不为0,则a∥b⇔第3页/共30页一二三思考辨析【做一做1】

已知向量a=(3,2,-1),b=(2,1,5),则a+b=

,a-b=

,2a-3b=

.

解析:a+b=(3,2,-1)+(2,1,5)=(5,3,4),a-b=(3,2,-1)-(2,1,5)=(1,1,-6),2a-3b=2(3,2,-1)-3(2,1,5)=(6,4,-2)-(6,3,15)=(0,1,-17).答案:(5,3,4)

(1,1,-6)

(0,1,-17)【做一做2】

已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),则使(ka+b)∥(a-3b)成立的k的值为

.

解析:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).∵(ka+b)∥(a-3b),第4页/共30页一二三思考辨析二、数量积的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2,空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.【做一做3】

已知a=(-2,5,3),b=(-4,2,x),且a·b=0,则x=(

)A.-4 B.-6C.-8 D.6解析:a·b=-2×(-4)+5×2+3x=0⇒x=-6.答案:B第5页/共30页一二三思考辨析三、空间向量长度与夹角的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则(3)a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.第6页/共30页一二三思考辨析【做一做4】

若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于(

)解析:因为a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,答案:C第7页/共30页一二三思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(3)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量.(

)(4)若a,b为空间向量,则(a+b)·(a-b)=a2-b2.(

)×××√第8页/共30页探究一探究二探究三思维辨析向量运算的坐标表示【例1】

已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,3a+2b,a·b.解:因为a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),所以a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1+(-1),-2+4)=(2,-2,2);a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6);3a+2b=3(2,-1,-2)+2(0,-1,4)=(3×2,3×(-1),3×(-2))+(2×0,2×(-1),2×4)=(6,-3,-6)+(0,-2,8)=(6,-5,2);a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=0+1-8=-7.第9页/共30页探究一探究二探究三思维辨析反思感悟空间向量的坐标运算方法1.在运算中注意相关公式的灵活运用,如(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等;2.进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算,如计算(2a)·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b后,再求数量积.计算(a+b)·(a-b),既可以先求出a+b,a-b后,再求数量积,也可以把(a+b)·(a-b)写成a2-b2后计算.第10页/共30页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).解:(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),第11页/共30页探究一探究二探究三思维辨析第12页/共30页探究一探究二探究三思维辨析空间向量的平行与垂直【例2】设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.(1)a∥b;(2)a⊥b.解:(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b.②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,∴x≠1.③当x≠0,且x≠1时,综上所述,当x=0或x=2时,a∥b.第13页/共30页探究一探究二探究三思维辨析(2)a⊥b⇔a·b=0,∴(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0⇔1-x2-3x2+1-x2=0,反思感悟要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.第14页/共30页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,求x,y的值.解:∵a∥b,∴a=λb.第15页/共30页探究一探究二探究三思维辨析空间向量长度与夹角的坐标表示【例3】

在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解决下列问题:(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值;(2)作O1D⊥AC于点D,求点O1到点D的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系.第16页/共30页探究一探究二探究三思维辨析(1)由题意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).第17页/共30页探究一探究二探究三思维辨析反思感悟当题中的几何体为正方体、长方体、直三棱柱等时,常选择建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算来解决有关长度、夹角、平行或垂直等问题;有时也可以不建系,利用基底来求解,但比较麻烦.第18页/共30页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,求解下列问题:(1)求证:EF⊥B1C;(3)求FH的长.解:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,D为坐标原点,第19页/共30页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,求解下列问题:(1)求证:EF⊥B1C;(3)求FH的长.解:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,D为坐标原点,第20页/共30页探究一探究二探究三思维辨析第21页/共30页探究一探究二探究三思维辨析忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误【典例】

已知a=(5,3,-1),b=,若a与b的夹角为锐角,求实数t的取值范围.易错分析:由a与b的夹角为锐角,得到a·b>0,但当a·b>0时,a与b的夹角不一定为锐角,还可能是共线同向,夹角为0°,解题时容易忽视这个条件,导致扩大了参数的范围.第22页/共30页探究一探究二探究三思维辨析纠错心得空间向量a,b夹角为锐角的充要条件是“a·b>0,且a,b不同向”;a,b夹角为钝角的充要条件是“a·b<0,且a,b不反向”.如果在求解过程中,忽视两个向量共线的情况,就有可能扩大参数的取值范围,导致错误.第23页/共30页探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是

.

解析:∵a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,∴3×(-1)+(-2)×(x-1)+(-3)×1<0.第24页/共30页12341.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),那么向量a-b+2c=(

)A.(0,1,2) B.(4,-5,5)C.(-4,8,-5) D.(2,-5,4)解析:a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5).答案:C第25页/共30页12342.已知a=(λ+1,0,