北师大选修最大值最小值问题张

会计学1北师大选修最大值最小值问题张1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.问题导学题型探究学习目标第1页/共34页知识点生活中的数学建模1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为

.2.利用导数解决优化问题的实质是

.3.解决优化问题的基本思路是：问题导学

新知探究点点落实上述解决优化问题的过程是一个典型的

过程.答案返回优化问题求函数最值数学建模第2页/共34页类型一面积、容积的最值问题例1

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x应取何值？题型探究

重点难点个个击破解析答案第3页/共34页当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x＝15.第4页/共34页(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′>0，得0<x<20；令V′<0，得20<x<30.解析答案反思与感悟第5页/共34页1.这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了.2.这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域.反思与感悟第6页/共34页同步训练1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度).(1)将S表示为θ的函数；解析答案第7页/共34页解如图，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，第8页/共34页(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.解S′＝5000(2cos2

θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1).解析答案第9页/共34页类型二利润最大问题(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解析答案第10页/共34页第11页/共34页(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.解析答案反思与感悟第12页/共34页且当x∈(0,9)时，W′>0，当x∈(9,10)时，W′<0.综合①②知：当x＝9时，W取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.反思与感悟第13页/共34页解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.反思与感悟第14页/共34页

所以a＝2.解析答案第15页/共34页(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解析答案第16页/共34页从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)增加极大值42减少解析答案第17页/共34页由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.第18页/共34页类型三费用(用材)最省问题例3

已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解析答案反思与感悟第19页/共34页解设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000(元)；解析答案反思与感悟第20页/共34页当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，即y在(8，v0]上为减函数，综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省，为32000元；反思与感悟第21页/共34页1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.反思与感悟第22页/共34页解析答案同步训练：

3.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(

)A.4 B.6 C.4.5 D.8解析设底面边长为x，高为h，A第23页/共34页1.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(

)A.9千台

B.8千台

C.6千台

D.3千台1234解析答案解析构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点.C本课练习第24页/共34页1234解析答案2.将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.第25页/共34页1234解析答案解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100－x，设正方形与圆形的面积之和为S，第26页/共34页1234由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，第27页/共34页规律与方法1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.返回第28页/共34页1234解析答案练习.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；第29页/共34页1234解设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].第30页/共34页1234(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[0,2)2(2,12)12(