高中数学 1.3.2函数的奇偶性 新人教A必修1

函数函数函数函数1.3.2函数的奇偶性.而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。.观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0学情调查，情景导入.y1-11-1xOf(x)=

x3则f(2)=

；f(-2)=

；f(1)=

；f(-1)=

；求值并观察总结规律则f(2)=

；f(-2)=

；f(1)=

；f(-1)=

；y1-11-1xOf(x)=

2x1.已知f(x)=

2x，2.已知f(x)=

x3，=-f(x)f(-x)=

4-42-2-2x=-f(x)f(-x)=

-x38-81-1图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形问题展示，合作探究.

如果对于函数y=

f(x)的定义域A内的任意一个x,都有f(-x)=

-f(x)，则这个函数叫做奇函数.奇函数的图象特征以坐标原点为对称中心的中心对称图形.y1-11-1xOy=f(x)(-x，f(-x))(x，f(x))f(-x)=

-f(x)

奇函数的定义奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形概念形成.奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？y1-11-1xOy=x3(x≠0)y1-11-1xOy=x3(x≠1)y1-11-1xOy=x3(x≥0)y1-11-1xOy=x3(－1≤x≤1)是否否是自主探究.奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．判断下列函数是奇函数吗？（1）f(x)=x3，x[－1，3]；（2）f(x)=x，x(－1，1]．否否自主探究.

解:（1）函数f（x）=的定义域为A={x|x≠0}

，所以定义域关于坐标原点对称．因为f（-x）==-=-

f（x），所以函数f（x）=

是奇函数．x1x1x1-x1例1判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例题.解:（2）函数f（x）=-x3的定义域为R，所以定义域关于坐标原点对称．因为f（-x）=-(-x)3=x3=-

f（x），所以函数f（x）=-x3是奇函数．例1判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例题.解:（3）函数f（x）=x+1的定义域为R，所以定义域关于坐标原点对称．因为f（-x）=-x+1-

f（x）=-（x+1）

=-

x-

1≠

f（-

x），所以函数f（x）=x+1不是奇函数．例1判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例题.解:（4）函数f（x）=x+x3+x5

+x7的定义域为R，所以定义域关于坐标原点对称．f（-x）=-

x+(-

x)3+(-

x)5

+

(-

x)7

=-(x+x3+x5

+x7)=-f（x）．所以函数f（x）=x+x3+x5

+x7是奇函数．例1判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例题.不是是是不是达标训练，巩固提升.

偶函数的定义如果对于函数y=

f(x)的定义域A内的任意一个x,都有f(-x)=

f(x)，则这个函数叫做偶函数.偶函数的图象特征

以y轴为对称轴的轴对称图形．定义域对应的区间关于坐标原点对称．偶函数图象是以y轴为对称轴的轴对称图形y1-11-1xOy=f(x)(-x，f(-x))(x，f(x))自主探究.解：（1）函数f（x）=x2+x4的定义域为R，所以定义域关于坐标原点对称．因为f（-x）=(-x)2+(-

x)4=x2+x4=f（x），所以函数f（x）=x2+x4是偶函数．例2判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1，3]．例题.解：（2）函数f（x）=x2+1的定义域为R，所以定义域关于坐标原点对称．因为f（-x）=(-x)2+1

=x2+1

=f（x）

，所以函数f（x）=x2+1

是偶函数．例2判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1，3]．例题.解：（3）函数f（x）=x2+x3的定义域为R，所以定义域关于坐标原点对称．因为f（-x）=(-x)2+(-

x)3=x2–

x3≠f（x）函数f（x）＝x2+x3不是偶函数．例2判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1，3]．例题.解：（4）函数f（x）=x2+1

，x[-1,3]

的定义域为A=[-1,3]，因为定义域不关于坐标原点对称．所以函数f（x）=x2+1

，x[-1,3]

不是偶函数．例2判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1,3]．123-1xyO-2-3例题.练习2判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）=(x+1)(x-1)；（2）f（x）=x2+1，x（-1，1]；（3）f（x）=．达标训练，巩固提升是不是是.练习3.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1∴f(x)为奇函数∵f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1∴f(x)为偶函数(1)f(x)=x-1x解：定义域为﹛x|x≠0﹜解：定义域为R=-f(x)=f(x)∵f(-x)=(-x)-1-x=-x+1x.(3).f(x)=5解:f(x)的定义域为R∵f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数解:定义域为R∵f(-x)=0=f(x)又f(-x)=0=-f(x)∴f(x)为既奇又偶函数yox5oyx结论:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(4).f(x)=0.(5)f(x)=x2+x解:定义域为R∵f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x，∴f(-x)≠-f(x)而且f(-x)≠f(x),∴f(x)为非奇非偶函数(6)f(x)=√x解:定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数.奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数

根据奇偶性,函数可划分为四类:.思考题1、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数2、当____时二次函数f(x