高中数学 2.3.1向量数乘运算 北师大必修4

2.3.1从速度倍数到数乘向量.复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:共起点2023/1/17.复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.aba-bo.BAab特点：共起点，连终点，方向指向被减数2023/1/17.实际背景在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.

其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量.讲授新课思考题1:已知向量如何作出和OABCNMQP记:即:同理可得:思考题2:向量与向量有什么关系?向量与向量有什么关系?(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即.定义:特别地，当λ=0或a=0时,λa=0(2)方向当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；(1)长度|λa|=|λ|·|a|

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。它的长度和方向规定如下：2023/1/17.练习2:结论:2a+2b2b(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。ab结论:2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b)2a3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。①λ(μa)=(λμ)a

运算律:

设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=λa+μa

③λ(a+b)=λa+λb2(a+b)2023/1/17.数乘向量的运算律：结合律第一分配律第二分配律.练习3:解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b2023/1/17.思考:判定定理:当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？

对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。

若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且2023/1/17.判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b=λa

，则向量b与非零向量a共线2)b

可以是零向量吗?思考:1)a为什么要是非零向量?向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.性质定理：向量共线.例题1:AEDCB解：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断AC与AE是否共线?变：若B、C分别是AD、AE的三等分点，证明：BC‖DE。2023/1/17.例题2:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴

A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba∵AB=OB-OA∴

AC=2AB又

AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，2023/1/17.

APBC例3ABC平面内的三点，切A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在AB上，则存在实数λ，使得

PC=λPA+(1-λ)PB.小结回顾:

二、知识应用：

1.证明向量共线；

2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线；

3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB、CD不重合直线