2022年湖北省鄂州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年湖北省鄂州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.微分方程yy'=1的通解为A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.1/2y2=Cx

D.1/2y2=x+C

4.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

5.设f(x)=e3x，则在x=0处的二阶导数f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e

6.A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.设函数f(x)=arcsinx，则f'(x)等于()．

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

10.

11.A.有一个拐点B.有两个拐点C.有三个拐点D.无拐点

12.

13.（）A.A.1B.2C.1/2D.-1

14.

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

15.

16.设f'(x)为连续函数，则等于()A.A.

B.

C.

D.

17.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

18.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

19.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

20.下列运算中正确的有()A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。

28.

29.

30.

31.微分方程dy＋xdx=0的通解为y=__________．

32.设，则y'=______。

33.设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

34.设是收敛的，则后的取值范围为______．

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

42.

43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

44.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

45.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

46.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

47.求微分方程的通解．

48.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

49.

50.

51.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

52.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

53.证明：

54.

55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

56.

57.

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

60.

四、解答题(10题)61.求曲线y=x2在(0，1)内的一条切线，使由该切线与x=0、x=1和y=x2所围图形的面积最小。

62.

63.

64.

65.求由曲线xy=1及直线y=x，y=2所围图形的面积A。

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.已知某厂生产x件产品的成本为

问：若使平均成本最小，应生产多少件产品?

六、解答题(0题)72.求y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点．

参考答案

1.C解析：

2.D

3.D

4.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法：

若自由项f(x)=Pn(x)eαx，当α不为特征根时，可设特解为

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)为x的待定n次多项式．

当α为单特征根时，可设特解为

y*=xQn(x)eαx，

当α为二重特征根时，可设特解为

y*=x2Qn(x)eαx．

所给方程对应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0．

特征根为r1=1，r2=2．

自由项f(x)=xe2x，相当于α=2为单特征根．又因为Pn(x)为一次式，因此应选D．

5.Cf(x)=e3x，f'(x)=3e3x，f"(x)=9e3x，f"(0)=9，因此选C。

6.A

7.C

8.B解析：

9.C解析：本题考查的知识点为基本导数公式．

可知应选C．

10.D

11.D

12.D

13.C由于f'(2)=1，则

14.A

本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．

15.C

16.C本题考查的知识点为牛-莱公式和不定积分的性质．

可知应选C．

17.B

18.B本题考查了函数的单调性的知识点，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的，故在[-1,1]上单调增加。

19.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

20.C本题考查的知识点为重要极限公式．

所给各极限与的形式相类似．注意到上述重要极限结构形式为

将四个选项与其对照。可以知道应该选C．

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。

28.(03)(0,3)解析：

29.1/2本题考查了对∞-∞型未定式极限的知识点，

30.

31.

32.本题考查的知识点为导数的运算。

33.(2x-y)dx+(2y-x)dy

34.k＞1本题考查的知识点为广义积分的收敛性．

由于存在，可知k＞1．

35.

36.e；本题考查的知识点为极限的运算．

注意：可以变形，化为形式的极限．但所给极限通常可以先变形：

37.

本题考查的知识点为定积分的换元法．

38.2

39.00解析：

40.1/2

41.

42.

43.

44.

45.

46.由等价无穷小量的定义可知

47.

48.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

49.

50.

51.函数的定义域为

注意

52.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

53.

54.

则

55.由二重积分物理意义知

56.

57.

58.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

59.

列表：

说明

60.由一阶线性微分方程通解公式有

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

∴x=1000(件)平均成本取最小值。

∴x=1