上海市闵行区鲁汇中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

上海市闵行区鲁汇中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C略2.已知k＜0，则曲线和有相同的(

)A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．长轴长参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个椭圆的焦距，判断选项即可．【解答】解：曲线的焦距为：2；k＜0，的焦距为：2=2．焦点坐标都在x轴上，焦点坐标相同．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3.已知表示大于的最小整数，例如．下列命题:①函数的值域是；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若，则方程有个根.

其中正确的是

A.②④

B.③④

C.①③

D.①④参考答案：D4.若集合,,则（

）A.{}

B.{}

C.{}

D.{}参考答案：B略5.己知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C6.设集合(

)

A．

B．

C.

D．参考答案：B略7.已知向量，且，则（

）A.4

B.2

C.

D.参考答案：A8.下列说法中，正确的是（

）A．命题“若”，则“”的逆命题是真命题；B．命题“”的否定是“”；C．“”是的充分不必要条件；D．命题“”为真命题，则命题和命题均为真命题.参考答案：C略9.设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2参考答案：D【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】构造函数f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈与x∈上的单调性，从而可选出正确答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=csinC，b2+c2﹣a2=bc，则B=（） A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】先根据余弦定理求出A，然后根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换，即可得到结论． 【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc， ∴cosA=， 解得A=， ∵acosB+bcosA=csinC， ∴由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC， 即sin（A+B）=sinC=sinCsinC， ∴sinC=1，即C=， ∴B=． 故选：B 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握两个定理的内容及应用． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则________参考答案：【分析】利用两角差的余弦公式展开，再逆用两角和的正弦公式即可得解.【详解】解：故答案为：.【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查两角和的正弦公式的逆用，属于基础题.12.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为

．参考答案：13.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为

日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）参考答案：2.6【考点】数列的应用．【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则An=，Bn=，由题意可得：=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少?”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第一日读的字数为

．

参考答案：495515.设函数的最小值为，则实数的取值范围是

．参考答案：因为当时，，所以要使函数的最小值，则必须有当时，，又函数单调递减，所以所以由得。16.设集合S={0，1，2，3，…，n}，则集合S中任意两个元素的差的绝对值的和为

．参考答案：n3+n2+n．【考点】等差数列．【分析】设集合S中第k个元素，则其值为k﹣1．然后根据数列求和进行解答．【解答】解：设集合中第k个元素，则其值为k﹣1．|（k﹣1）﹣k|+|（k﹣1）﹣（k+1）|+…+|（k﹣1）﹣n|=1+2+…+（n+1﹣k）=Tn=n2?n+n?n+n﹣（1+2+…+n）n﹣（1+2+…+n）+（12+22+…+n2）=．故答案是：n3+n2+n．17.函数（）的最小值为

参考答案：25三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列满足，为的前项和.（Ⅰ）求通项及；（Ⅱ）设是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.参考答案：19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若成等差数列，△ABC的面积为，求a．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin（A+），结合范围A∈（0，π），即可计算求解A的值；（2）利用等差数列的性质可得b+c=，利用三角形面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a的值．【详解】（1）∵asinB=bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）．∵sinB≠0，∴sinA=sin（A+）．∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，∴A=．（2）∵b，a，c成等差数列，∴b+c=，∵△ABC的面积为2，可得：S△ABC=bcsinA=2，∴=2，解得bc=8，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，∴解得：a=2．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.数列中,,(≥2,),数列为等比数列,且.(I)求数列的通项公式；

(II)求数列的前n项和.