广西壮族自治区贵港市桂平卓外中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

广西壮族自治区贵港市桂平卓外中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（）Ａ．等于

Ｂ．等于

Ｃ．等于

Ｄ．不存在参考答案：答案：B解析：=，选B2.若等差数列的前n项和为，则A.0

B.12

C.

D.参考答案：A3.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.设直线与球O有且只有一个公共点P，从直线出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球O的表面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（

）A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：C设从高二应抽取人，则有，解得，选C.6.在应用数学归纳法证明凸n变形的对角线为条时，第一步检验n等于（）A.1

B.2

C．3

D．0参考答案：C7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于()A．54 B．45C．36 D．27参考答案：A∵2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.8.已知函数是以2为周期的偶函数，的值为

（

） A． B． C． D．参考答案：A略9.△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地平面成40°角，为了使遮阳阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为

（

）

A．75°

B．50°

C．60°

D．45°参考答案：答案:B10.抛物线y＝－4x2的焦点坐标是

()A.（0，-1）

B.（-1，0）

C.（0，）

D．（，0）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，，若，则实数_____.参考答案：12.为了分析某同学在班级中的数学学习情况，统计了该同学在6次月考中数学名次，用茎叶图表示如图所示：

，则该组数据的中位数为

．参考答案：18.5共6个数，正中间两个数分别为18,19,所以中位数13.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=40，则a3?a8的最大值为

．参考答案：16【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性质能求出a3?a8的最大值．【解答】解：∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=40，∴，∴=16．∴当且仅当a3=a8时，a3?a8的最大值为64．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及基本等式的合理运用．14.如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．15.已知均为非负实数，且，则的取值范围为

．参考答案：因为，所以，令，则．．当且，即或时取等号；另一方面，当时取等号．所以．16.用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左右两式应乘以__________。参考答案：或略17.（4分）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=中满足“倒负”变换的函数是．参考答案：①③【考点】：进行简单的演绎推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：利用“倒负”函数定义，分别比较三个函数的f（）与﹣f（x）的解析式，若符合定义，则为满足“倒负”变换的函数，若不符合，则举反例说明函数不符合定义，从而不是满足“倒负”变换的函数．解：①设f（x）=x﹣，∴f（）=﹣x=﹣f（x），∴y=x﹣是满足“倒负”变换的函数，②设f（x）=x+，∵f（）=，﹣f（2）=﹣，即f（）≠﹣f（2），∴y=x+是不满足“倒负”变换的函数，③设f（x）=，则﹣f（x）=，∵0＜x＜1时，＞1，此时f（）﹣x；x=1时，=1，此时f（）=0，x＞1时，0＜＜1，此时f（）=，∴f（）==﹣f（x），∴y=是满足“倒负”变换的函数．故答案为：①③【点评】：本题考查了对新定义函数的理解，复合函数解析式的求法，分段函数解析式的求法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）的图象；（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）当a≥1，求实数a与正整数n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019个零点．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），?a=﹣m（x），可得m（x）==2sinx﹣，m′（x）=2cosx+=，令m′（x）=0得x=，，可得m（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，分析可知a=±1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2019÷3=673，得n=673*2=1346，从而存在a=1，n=1346或a=﹣1，n=1346时，φ（x）有2019个零点．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣0.5π）的图象，∴g（x）=sinx．（2）∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），?a=﹣m（x），可得m（x）==2sinx﹣，m′（x）=2cosx+=，令m′（x）=0得x=，，∴m（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，当a＞1时，m（x）=a在（0，2π）有2解；则a=1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，∴存在a=1，n=1346时，φ（x）有2019个零点．19.如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF=2，∠CBA=．（Ⅰ）求证：AF⊥BC；（Ⅱ）线段AB上是否存在一点G，使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为，若存在，求AG的长；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明AF⊥平面ABCD，即可证明：AF⊥BC；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的法向量，利用直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为，可得结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB⊥AF，∴AF⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，AF⊥BC；（Ⅱ）解：取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，∵菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，∴CO⊥平面ABEF，作OM∥AF，建立如图所示的坐标系，则D（﹣2，0，），F（﹣1，4，0），E（1，2，0），∴=（1，4，﹣），=（﹣2，2，0），设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，1，），设G（λ，0，0），λ∈[﹣1，1]，则=（﹣λ﹣1，4，0）∵直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为，∴=，∴λ=﹣1∈[﹣1，1]，∴AG=0，直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了空间中垂直关系的判断与应用问题，也考查了用向量法求线面角，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是综合性问题．20.随着社会的发展，阅读纸质书本的人数逐渐减少，为了了解某大学男女生阅读纸质书本的情况，调查人员随机抽取了100名在校大学生了解其阅读情况，得到如下数据：每月读书本数1本2本3本4本5本6本及以上男4337830女6543720合计1087101550（Ⅰ）在每月读书超过5本的样本中，按性别用分层抽样随机抽取5名学生.①求抽取的5名学生中男、女生各多少人；②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生恰为一男生一女生的概率.（Ⅱ）如果认为每月纸质读书的本数超过3本的学生为“阅读达人”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“阅读达人”与性别有关？参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

，其中.参考答案：（Ⅰ）①男生有3人，女生2人;②（Ⅱ）不能【分析】（Ⅰ）①根据读书6本及以上男生和女生的比例，求得抽取的男生和女生的人数.②利用列举法，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.（Ⅱ）根据题目所给数据列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为阅读达人与性别有关.【详解】（Ⅰ）①由表格可知，样本中每月阅读本数超过5本的男生有30人，女生20人，在这50人中，按性别分层抽样抽取5名学生，其中男生有3人，女生有2人.②记抽取的3名男生分别，，；女生分别记为，.再从这5名用户随机抽取2名学生，共包含，，，，，，，，，，10种等可能的结果.抽取的2名学生恰为一男生一女生这一事件包含，，，，，共计6种等可能的结果，由古典概型的计算公式可得：.（Ⅱ）由图中表格可得列联表：

非阅读达人阅读达人合计男104555女153045合计2575100

将列联表中的数据代入公式计算得，所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为阅读达人与性别有关.【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查列联表独立性检验等知识，属于基础题.21.（本小题满分12分）在城的西南方向上有一个观测站,在城的南偏东的方向上有一条笔直的公路,一辆汽车正沿着该公路上向城驶来.某一刻,在观测站处观测到汽车与处相距,在分钟后观测到汽车与处相距.若汽车速度为,求该汽车还需多长时间才能到达城?参考答案：解：如图,由题意知,.则,从而.故.在△中,由正弦定理可得,