广东省深圳市学府中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

广东省深圳市学府中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=为奇函数，则f（g（﹣1））=(

)A．﹣28 B．﹣8 C．﹣4 D．4参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知得g（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2﹣3x）=﹣x2+3x，从而g（﹣1）=﹣1﹣3=﹣4，f（g（﹣1））=f（﹣4）=g（﹣4）=﹣16﹣12=﹣28．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2﹣3x）=﹣x2+3x，g（﹣1）=﹣1﹣3=﹣4，f（g（﹣1））=f（﹣4）=g（﹣4）=146﹣12=﹣28．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2.已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（

）A.B.C.D.参考答案：D3.是方程的两个不等的实数根，且点在圆上，那么过点和的直线与圆的位置关系（

）相离

相切

相交

随的变化而变化参考答案：A4.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}参考答案：C【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（）A．

B．

C．

D．5参考答案：C6.设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理NF2=2r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得【解答】解：设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理NF2=2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e======，故选：D【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．7.已知定义在上的奇函数f(x)，满足时，，则f(m)的值为（

）A.－15 B.－7 C.3 D.15参考答案：A【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.【详解】因为奇函数定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.8.设平面向量，若，则实数的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.下列命题中，错误的是（A）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交（B）平行于同一平面的两个不同平面平行（C）如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（D）若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线参考答案：D10.

已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示.则平面区域所围成的面积是A．2

B．4

C．5

D．8参考答案：答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=．参考答案：1【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα?tanβ的值，从而求得tan（α+β）的值．【解答】解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，∴tanα+tanβ=，tanα?tanβ=，∴tan（α+β）===1．故答案为：1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．12.若对于任意的实数x∈(0，]，都有2﹣2x﹣logax＜0恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：＜a＜1

【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得，时，函数y=2﹣2x的图象在函数y=logax的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得＜loga，解此对数不等式求得a的范围【解答】解：若对于任意的实数，都有2﹣2x﹣logax＜0恒成立，即对于任意的实数，都有logax＞2﹣2x恒成立，则y=logax的图象恒在y=图象的上方，∴0＜a＜1．再根据它们的单调性可得＜loga，即＞，∴a＞，综上可得，＜a＜1，故答案为：＜a＜113.已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为

．参考答案：14.已知平面向量，，与垂直，则_______.参考答案：-1略15.双曲线的两条渐近线方程为．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想16.如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是

，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是

．参考答案：

略17.已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足的点P组成，则D的面积为________．参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆M：（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B（线段PQ不垂直x轴），当Q运动到椭圆的右顶点时，|PF|=．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）若S△ABO：S△BCF=3：5，求直线PQ的方程．参考答案：（Ⅰ）当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，，又c=1，a2=b2+c2，解出即可得出．（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+b，显然k≠0，联立椭圆方程得：（2k2+1）x2+4kbx+2（b2﹣1）=0，设点P（x1，y1），Q（x1，y1），根据根与系数的关系得：3b2﹣1+4kb=0，点，线段PQ的中垂线AB方程：．可得A，B的坐标．，进而得出．解：（Ⅰ）当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，∴，又c=1，a2=b2+c2，∴．椭圆M的标准方程为：（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+b，显然k≠0，联立椭圆方程得：（2k2+1）x2+4kbx+2（b2﹣1）=0，设点P（x1，y1），Q（x1，y1），由韦达定理：由得：3b2﹣1+4kb=0

（4）点，∴线段PQ的中垂线AB方程：，令x=0，y=0可得：，则A为BC中点，故，由（4）式得：，则，得：b2=3．∴b=，k=﹣或b=﹣，k=．经检验，满足条件（1）（2）（3），故直线PQ的方程为：y=x﹣，y=﹣x+．19.已知集合，．

（1）若是的真子集，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．参考答案：(1)若是的真子集,则(2)若,则略20.正三棱柱中,,是中点,且（Ⅰ）求侧棱的长；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）取中点,可证明平面所以。所以

……6分（Ⅱ）过做,垂足为.过做垂足为.连接则为所求.

余弦值为

……6分

21.已知函数f（x）=x3﹣x2+ax﹣a（a∈R）．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】压轴题．【分析】（1）由a=﹣3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；（2）求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，①根的判别式小于等于0，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0；②根的判别式大于0时由f（x1）?f（x2）＞0得到求出a的解集可．【解答】解：（1）当a=﹣3时，，∴f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=3．当x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，3）上单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增．∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值为f（﹣1）=；当x=3时，f（x）取得极小值为=﹣6．（2）∵f′（x）=x2﹣2x+a，∴△=4﹣4a=4（1﹣a）．①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．②若a＜1，则△＞0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1＜x2）．∴x1+x2=2，x1x2=a．当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：∵x12﹣2x1+a=0，∴a=﹣x12+2x1．∴===．同理f（x2）=．∴===．令f（x1）?f（x2）＞0，解得a＞0．而当0＜a＜1时，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，分类讨论的数学思想．22.（本小题满分14分）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设