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安徽省滁州市万寿中学2022年度高二数学理月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0恒成立,则实a的取值范围是(

)A.(﹣∞,﹣2) B.[﹣2,+∞) C.[0,2] D.[0,+∞)参考答案:B【考点】函数最值的应用.【专题】计算题.【分析】讨论x是否为零,然后将a分离出来,使得﹣a恒小于不等式另一侧的最小值即可,求出a的范围即为所求.【解答】解:∵对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0∴x4+1≥﹣ax2在R上恒成立当x=0时不等式恒成立当x≠0时,﹣a≤在R上恒成立而≥2∴﹣a≤2即a≥﹣2故选B.【点评】本题主要考查了恒成立问题,以及参数分离法和利用基本不等式求函数的最值,属于中档题.2.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是()A.

B. C. D.参考答案:C3.阅读如图21-5所示的程序框图,输出的结果S的值为()图21-5A.0

B.

C.

D.-参考答案:B4.已知是第二象限角,()A. B. C. D.参考答案:A略5.直线在x轴,y轴上的截距分别为()A.2,3 B.-2,3 C.-2,-3 D.2,-3参考答案:D【分析】分别令等于0,即可求出结果.【详解】因为,当时,,即在轴上的截距为;当时,,即在轴上的截距为;故选D【点睛】本题主要考查直线的截距,熟记截距式即可,属于基础题型.6.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为()A.x﹣y﹣2=0 B.x+y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 D.x﹣4y﹣5=0参考答案:B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程.【解答】解:y=的对数为y′==﹣,可得在点(1,1)处的切线斜率为﹣1,则所求切线的方程为y﹣1=﹣(x﹣1),即为x+y﹣2=0.故选:B.7.已知a∈R,若方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则此圆心坐标()A.(﹣2,﹣4) B.C.(﹣2,﹣4)或 D.不确定参考答案:A【考点】圆的标准方程.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为x2+y2+x+2y+2.5=0,此时D2+E2﹣4F<0,方程不表示圆,故选:A.8.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(1),则f′(1)的值等于() A. B. C.1 D.﹣1参考答案:D【考点】导数的运算. 【专题】方程思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】对f(x)求导,将x=1代入导函数求出. 【解答】解:∵f(x)=x2+3xf′(1),∴f′(x)=2x+3f′(1). ∴当x=1时有f′(1)=2+3f′(1).解得f′(1)=﹣1. 故选:D. 【点评】本题考查了导数的运算,属于基础题. 9.已知复数,则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案:D由题意可得,在复平面内对应的点为,在第四象限,选D10.如图是选修1-2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分),如果要加入知识点“三段论”,那么应该放在图中(

)A.“①”处B.“②”处C.“③”处D.“④”处参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于

.参考答案:90°12.设过点的直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于A、B两点,点与点P关于轴对称,O点为坐标原点,若且则P点的轨迹方程是_________.参考答案:略13.已知等差数列{an}中,a3、a15是方程x2﹣6x﹣1=0的两根,则a7+a8+a9+a10+a11=

.参考答案:15【考点】8F:等差数列的性质.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a3+a15=6,再由等差数列的性质可得a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15,由此求得要求式子的值.【解答】解:由题意可得a3+a15=6,又a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15,∴a7+a8+a9+a10+a11=(2+)(a3+a15)=×6=15,故答案为15.【点评】本题主要考查一元二次方程等于系数的关系,等差数列的定义和性质的应用,属于中档题.14.=.参考答案:2π【考点】定积分.【专题】计算题.【分析】根据定积分的定义,找出根号函数f(x)=的几何意义,计算即可.【解答】解:,积分式的值相当于以原点为圆心,以2为半径的一个半圆面的面积,故其值是2π故答案为:2π.【点评】此题考查利用定积分的几何意义,求解定积分的值,是高中新增的内容,要掌握定积分基本的定义和性质,解题的关键是找出原函数.15.的展开式奇数项的二项式系数之和为128,则展开式中二项式系数最大项为______.参考答案:【分析】根据二项式展开式奇数项的二项式系数之和公式列方程,求得的值,进而求得二项式展开式中二项式系数最大项.【详解】由于二项式展开式奇数项的二项式系数之和为,即,所以,此时二项式展开式一共有项,故第项的二项式系数最大,.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数之和,考查二项式展开式中二项式系数最大的项的求法,属于基础题.16.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ=________.参考答案:17.已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.参考答案:(3,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】作出函数f(x)=的图象,依题意,可得4m﹣m2<m(m>0),解之即可.【解答】解:当m>0时,函数f(x)=的图象如下:∵x>m时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2,∴y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须4m﹣m2<m(m>0),即m2>3m(m>0),解得m>3,∴m的取值范围是(3,+∞),故答案为:(3,+∞).三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)求曲线在原点处的切线方程.(2)当时,求函数的零点个数;参考答案:(1)(2)函数零点个数为两个【分析】(1)根据导数的几何意义,即可求解曲线在原点处的切线方程;(2)由(1),求得函数的单调性,分类讨论,即可求解函数的零点个数.【详解】(1)由题意,函数,则,则,从而曲线在原点处的切线方程为.(2)由(1)知,令得或,从而函数单调增区间为,单调减区间为,当时,恒成立,所以在上没有零点;当时,函数在区间单调递减,且,存在唯一零点;当时,函数在区间单调递增,且,存在唯一零点.综上,当时,函数零点个数为两个.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程,以及利用导数研究函数的单调性及其应用,着重考查了分类讨论思想,推理与运算能力,属于基础题.19.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求四棱锥P﹣ABCD的体积V;(2)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF.参考答案:【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(1)利用直角三角形的边角关系可得BC,CD.SABCD=,利用V=S四边形ABCD×PA,即可得出.(2)在Rt△ABC,∠BAC=60°,可得AC=2AB,PA=CA,又F为PC的中点,可得AF⊥PC.利用线面垂直的判定与性质定理可得:CD⊥PC.利用三角形的中位线定理可得:EF∥CD.于是EF⊥PC.即可证明PC⊥平面AEF.【解答】(本题满分12分)解:(1)∵在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,∴CD=2,AD=4.∴SABCD==.则V=.….(6分)(2)∵PA=CA,F为PC的中点,∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.∵E为PD中点,F为PC中点,∴EF∥CD.则EF⊥PC.∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…(12分)【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程;(2)圆C上一动点M(x0,y0),=(0,y0),若向量=+,求动点Q的轨迹方程.参考答案:(1)①若直线l垂直于x轴,则此直线为x=1,l与圆的两个交点坐标分别为(1,)和(1,-),这两点间的距离为2,符合题意.②若直线l不垂直于x轴,设其方程为y-2=k(x-1)即kx-y-k+2=0设圆心到此直线的距离为d∵2=2∴d=1∴1=解得k=故所求直线方程为3x-4y+5=0综上所述所求直线方程是x=1或3x-4y+5=0.(2)设Q点坐标为(x,y)∵M点的坐标是(x0,y0),=(x0,y0),=(0,y0),=+∴(x,y)=(x0,2y0)∴∵x02+y02=4∴x2+()2=4.即+=1,∴Q点的轨迹方程是+=1.21.设计一幅宣传画,要求画面面积为4000cm2,画面的上下各留8cm空白,左右各留5cm空白,怎样设计画面的高与宽,才能使宣传画所用纸张的面积最小,最小面积是多少?参考答案:设画面的高为时,宣传画所用纸张面积为.此时,画面的宽为……………………2分且有……………4分…………8分当且仅当即时等号成立。………………10分所以设计画面的高为,宽为的宣传画所用纸张面积最小,最小面积是5760cm2.………………………12分22.已知,是实数,函数和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致.(

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