上海开元中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析

上海开元中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，－b），则椭圆的离心率的取值范围为(

▲

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C略2.已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面,则下列判断正确的是(

)A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l

D.若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α参考答案：C3.函数f(x)的图象如图所示，则不等式xf(x)＞0的解集是(

)A.(－∞，－1)∪(0，1)

B.(－1，0)∪(1，+∞)C.(－∞，－1)∪(1，+∞)

D.(－1，0)∪(0，1)参考答案：B略4.已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则△F1PF2的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，求cos∠PF2F1的值，即可得出结论．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠PF2F1==﹣＜0，∴∠PF2F1为钝角．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP与AM所成的角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，A1P=t（0≤t≤1），A（2，0，0），M（0，0，1）O（1，1，0），P（2，t，2），=（﹣2，0，1），=（1，t﹣1，2），∴=﹣2+0+2=0，∴异面直线OP与AM所成的角的大小为90°．故选：C．6.在正方体中，与平面所成的角的大小是

A．90°

B．30°

C．45°

D．60°

参考答案：7.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为(

)A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题．【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题8.将正奇数1，3，5，7，…排成五列（如表），按此表的排列规律，2017所在的位置是（）A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列参考答案：B【考点】归纳推理．【分析】该数列是等差数列，an=2n﹣1，四个数为一行，由通项公式算多少行比较容易；偶数行在第一列有数，并且，数的大小都是从右往左逐增．从而能求出2017是哪列．【解答】解：由题意，该数列是等差数列，则an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴由公式得n=（2017+1）÷2=1008，∴由四个数为一行得1008÷4=252，∴由题意2017这个数为第252行2列．故选：B【点评】本题考查了数字的排列规律，找到相应行和相应列的规律是解决问题的关键．9.复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．10.直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA=90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD1与AF1所成角的余弦值．【解答】解：∵直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA=90°，∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，∴设BC=CA=CC1=2，则B（0，20），D1（1，1，2），A（2，0，0），F1（1，0，2），=（1，﹣1，2），=（﹣1，0，2），设BD1与AF1所成角为θ，则cosθ===．∴BD1与AF1所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为

.参考答案：12.某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是

米．（答案保留两位小数）

参考答案：3.84解：抛物线方程为：

当时，∴最高支柱的高度是3.84米.

13.若,则

, .参考答案：

14.某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】6个人拿6把钥匙可以看作是6个人的全排列，而甲乙对门的拿法种数包括甲乙拿301与302门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿303与304门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿305与306门的钥匙，其余4人任意排列，然后利用古典概型概率计算公式求概率．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p（A）=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．15.抛物线的离心率是______________参考答案：16.若函数

则

.参考答案：17.已知直线与关于轴对称，直线的斜率是_____.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）

已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10︰1

求（1）展开式的二项式系数和；

（2）展开式中含的项；

（3）展开式中二项式系数最大的项.参考答案：（1）256

（2）-16

（3）112019.（本小题满分12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数；(2)AB的长度。参考答案：（1）C＝120°……4分（2）由题设：

……7分

……11分

20.如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。

求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面.参考答案：本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。21.已知F1，F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（1）试求椭圆C1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足，可得到λ2的表达式，进而求出实数λ的取值范围【解答】解：（1）令M为（x0，y0），因为M在抛物线C2上，故x02=4y0，①又|MF1|=，则y0+1=，②由①②解得x0=﹣，y0=椭圆C1的两个焦点为F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|MF1|+|MF2|==4∴a=2，又c=1，∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l：y=k（x+t）与圆x2+（y+1）2=1相切∴=1，即k=（t≠0，t±1）把y=k（x+t）代入并整理得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2kt=∵=（x1+x2，y1+y2）∴P（，）又∵点P在椭圆上∴+=1∴λ2==（t≠0）∵t2＞0，t2≠1，∴＞1且≠3，∴0＜λ2＜4且λ2≠∴λ的取值范围为（﹣2，﹣）∪（﹣，0）∪（0，）∪（，2）22.若二项式的展开式中的常数项为第5项.(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项；参考答案：（1）10