上海保德中学2022年度高二数学文联考试题含解析

上海保德中学2022年度高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若圆上的点到直线的最近距离等于1,则半径r值是A.4

B.5

C.6

D.9参考答案：C2.曲线在点处的切线方程为(

)

A．x-y-2=0

B．x+y-2=0

C．x+4y-5=0

D．x-4y-5=0参考答案：B3.等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15B．30C．31D．64参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故选：A．4.以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为（）A．30° B．60° C．90° D．不确定参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先判断折叠后△ACD，△BCD，△ABD的形状，进而判断出△ABC的形状，从而可得答案．【解答】解：如图所示：折叠后∠ACD=∠BCD=45°，AD⊥CD，BD⊥CD，则∠ADB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，又平面ACD⊥平面BCD，所以∠ADB=90°，所以△ADB为等腰直角三角形，设AD=1，则AC=BC=AB=，所以△ABC为正三角形，所以∠ACB=60°．故选：B．5.直线与直线的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.重合 D.由m决定参考答案：A【分析】本题首先可以根据题意得出两直线的斜率，然后观察两直线斜率之间的关系，通过两直线的斜率的关系即可得出结果。【详解】由题意可知直线与直线斜率分别为和，所以两直线的斜率既不相等，且乘积也不为-1，故直线与直线的位置关系是相交，故选A。【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，如果两直线的斜率相等，那么直线的关系是平行或者重合，如果两直线的斜率乘积为，则两直线相互垂直，属于基础题。6.数列1,－3,5,－7,9,…的一个通项公式为（

）

参考答案：C7.已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于（

）A.4 B.3 C.2 D.1参考答案：B【分析】利用类比推理把平面几何的结论推广到空间中.【详解】因为到四面体各面的距离都相等，所以为四面体内切球的球心，设四面体的内切球半径为，则，其中表示四面体的体积，表示一个面的面积；所以,即，所以.故选B.【点睛】本题主要考查类比推理，平面性质类比到空间时注意度量关系的变化.8.下列函数中，存在极值点的是A. B. C. D. E.参考答案：BDE【分析】利用导数求得函数的单调性，再根据函数极值的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，则，所以函数在内单调递增，没有极值点．函数，根据指数函数的图象与性质可得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在处取得极小值；函数，则，所以函数在上单调递减，没有极值点；函数，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得极小值；函数，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以处取得极小值．故选BDE．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中利用导数求得函数的单调性，确定函数的极值点或极值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由得A（1，0），当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，z最大值是2，故选：C．10.设a＞0，b＞0则下列不等中不恒成立的是(

) A．a+≥2 B．a2+b2≥2（a+b﹣1） C．≥﹣ D．a3+b3≥2ab2参考答案：D考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质可得A、B、C正确，通过举反例求得D不正确，从而的互结论．解答： 解：由条件a＞0，b＞0，利用基本不等式可得a+≥2，故A正确．根据a2+b2﹣2（a+b﹣1）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，可得B正确．当a=b时，C成立；当a＜b时，C显然成立．当a＞b时，C等价于a﹣b≥a+b﹣2，等价于≥b，等价于ab＞b2，显然成立．故C恒成立．当a=2、b=3时，a3+b3=35，2ab2=36，故此时D不成立，故D不正确．故选：D．点评：本题主要考查不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“”的否定是

参考答案：略12.定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…xn，…，若，则x1+x2+…+x2n=．参考答案：6×（2n﹣1）【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．当x∈[2，4）时，∈[1，2），f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4），f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6，依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．∴当时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），故答案为：6×（2n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．13.直线y=k（x﹣1）+4必过定点，该定点坐标是．参考答案：（1，4）【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】令参数k的系数x﹣1=0，求得x和y的值，可得直线y=k（x﹣1）+4必过定点的坐标．【解答】解：令参数k的系数x﹣1=0，求得x=1，y=4，可得直线y=k（x﹣1）+4必过定点（1，4），故答案为：（1，4）．【点评】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．14.已知O为坐标原点,F是椭圆的左焦点,A,B,D分别为椭圆C的左,右顶点和上顶点,P为C上一点,且轴,过点A,D的直线l与直线PF交于点M,若直线BM与线段OD交于点N,且,则椭圆C的离心率为__________．参考答案：【分析】利用相似三角形的比例关系可得离心率.【详解】如图，因为轴，,所以，即；同理,所以,因为，所以有；联立可得，故离心率为.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，主要是构建的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.15.平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是

．参考答案：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0【考点】I7：两条直线平行的判定；J7：圆的切线方程．【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，1求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x﹣y+b=0，平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切，所以，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0故答案为：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．16.已知复数,则_______参考答案：5【分析】根据复数模计算公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，复数，则，故答案为：5.【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于容易题.17.二项式展开式中的常数项为______．参考答案：60【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】解：的展开式的通项公式为，令，求得，所以展开式中常数项为．故答案：60．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)已知在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合。⑴写出该抛物线的标准方程和焦点F的坐标；⑵求线段BC的中点M的坐标；⑶求BC所在直线的方程。参考答案：解：⑴由点在抛物线上，有解得p=16，所以抛物线方程为，焦点F的坐标为。⑵解法一：由于是的重心，设M是BC的中点，所以，即有设点M的坐标为，所以解得，所以点M的坐标为解法二：∵M是BC的中点，⑶∵点在抛物线上，，又点在直线BC上…12分略19.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC． （1）求证：AB⊥平面SAC； （2）设SA=AB=AC=1，求点A到平面SBC的距离． 参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）作出辅助线，求出BC，SD的长，从而求出点到面的距离． 【解答】证明：（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB， ∵AB⊥AC，∴AB⊥平面SAC； （2）如图， 做AD⊥BC，交点为D，连接SD，做AE⊥SD，交点为E， ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC， ∵AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥AE， ∵AE⊥SD，∴AE⊥平面SBC， ∴AE的长度是A到平面SBC的距离， 由勾股定理得BC=， （面积相等）AD×BC=AB×AC=1， ∴AD=， 勾股定理得SD=， （面积相等）SA×AD=AE×SD， 即=AE×， ∴AE=， ∴A到平面SBC的距离为． 【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，考查了距离的计算，是一道中档题． 20.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过的左焦点,而且与轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程及双曲线的渐近线方程。参考答案：略21.已知,证明：，并利用上述结论求的最小值(其中．

参考答案：………4分…