2022年湖南省怀化市龙潭镇中学高三数学理月考试卷含解析

2022年湖南省怀化市龙潭镇中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知满足约束条件，则的最小值为(

)

参考答案：C2.函数在（0，2）内零点的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：B3.设，则它们的大小关系为

(A)a<b<c

(B)a<c<b

(C)b<c<a

(D)c<a<b参考答案：【知识点】数值大小的比较.

E1B

解析：∵，∴a<c<b,故选B.

【思路点拨】先求出各数值或确定其大致范围，从而得到它们的大小顺序.

4.在同一平面内，已知，且，若，则的面积等于（

）A．2

B．1

C．

D．参考答案：B略5.如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是上底面A1B1C1D1内一动点，PM垂直AD于M，PM=PB，则点P的轨迹为（）A．线段 B．椭圆一部分 C．抛物线一部分 D．双曲线一部分参考答案：C【分析】平面里一点到定点的距离和到定直线距离相等，可得P的轨迹是抛物线．【解答】解：∵PM垂直AD于M，PM=PB，∴P到点B的距离等于P到直线AD的距离，∴点P的轨迹为抛物线一部分，故选C．【点评】本题主要考查抛物线定义，要求掌握抛物线的定义和性质，能够从立体几何转化成圆锥曲线问题．6.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数A．

B．

C．

D．参考答案：C

7.设是的三个内角，且满足：则等于（

）

参考答案：A8.已知偶函数在区间上递增，则满足的取值范围是()

参考答案：A略9.函数的定义域是（

）A．

B．

C．D．参考答案：C略10.等轴双曲线x2﹣y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积（）A． B．2 C．1 D．4参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】算出双曲线的焦距|F1F2|=2，利用勾股定理得出|PF1|2+|PF2|2=2，结合||PF1|﹣|PF2||=2联解得出|PF1|?|PF2|的值，即可算出△PF1F2的面积．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=1中，a=b=1，∴c==，得焦距|F1F2|=2设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，∴m2+n2=|F1F2|2=8…①由双曲线的定义，得|m﹣n|=2a=2…②①②联立，得mn=2∴△PF1F2的面积S=mn=1故选：C．【点评】本题给出等轴双曲线的焦点三角形为直角三角形，求三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、勾股定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列中，若,，则

.参考答案：略12.在底面是边长为的正方形的四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则________．参考答案：【分析】设，为，的中点，先求出四棱锥内切球的半径，再求出外接球的半径，即得解.【详解】如图，，为，的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，，即为与所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，所以可得，设为外接球球心，在中，，解得，，故答案为：.【点睛】本题主要考查多面体与球的内切和外接问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是

．

参考答案：答案：解析：由＋25＋|－5|≥，

而，等号当且仅当时成立；

且，等号当且仅当时成立；

所以，，等号当且仅当时成立；故；14.若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．参考答案：【知识点】向量的夹角F3解析：，即，所以，，的夹角为，故答案为.【思路点拨】由可得，所以夹角为.15.已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是

．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．【点评】本题考查等差中项的性质，余弦定理，以及三角形边角关系的应用，考查了方程与转化思想，运算求解能力，推理论证能力．16.已知向量,，若，其中，则

.参考答案：17.已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=，为常数。（I）当=1时，求f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求的取值范围。参考答案：（1）当a=1时，f（x）=，则f（x）的定义域是。由，得0＜x＜1；由，得x＞1；∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，上是减函数。……………6分（2）。若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则或在区间[1，2]上恒成立。∴，或在区间[1，2]上恒成立。即，或在区间[1，2]上恒成立。又h（x）=在区间[1，2]上是增函数。h（x）max=（2）=，h（x）min=h（1）=3即，或。

∴，或。……………12分略19.已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数a的值；（2）若不等式在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）1；（2）.分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值.详解：（1），设切点的横坐标为，由题意得，解得，，所以实数的值为1.（2）由题意，在定义域内恒成立，得在定义域内恒成立，令，则，再令，则，即在上单调递减，又，所以当时，，从而，在上单调递增；当时，，从而，在上单调递减；所以在处取得最大值，所以实数的取值范围是.点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“恒成立”进行处理.20.已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n＞1）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；不等式的证明．【分析】（1）由f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，知x＞1，，由此能求出f（x）的单调区间．（2）由f（x）≤0恒成立，知?x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，故k＞0．f（x）max=f（1+）=ln≤0，由此能求出实数k的取值范围．（3）令k=1，能够推导出lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2，得到，n≥2，由此能够证明且n＞1）．【解答】解：（1）∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，∴x＞1，，∵x＞1，∴当k≤0时，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；当k＞0时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+∞）上为减函数．（2）∵f（x）≤0恒成立，∴?x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x1）+1≤0，∴?x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，∴k＞0．由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln≤0，解得k≥1．故实数k的取值范围是[1，+∞）．（3）令k=1，则由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2对x∈（1，+∞）恒成立，即lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2，则2lnn≤n2﹣1，即，n≥2，∴且n＞1）．21.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；(3)当为何值时,与平面所成角的大小为

45°.参考答案：解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，，)，D(，0,0)，设BE＝x(0≤x≤)，则E(x,1,0)，·＝(x,1，－1)·(0，，)＝0，∴PE⊥AF.(3)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，由，得m＝(，1－，1)．而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，所以sin45°＝＝，∴＝，得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°.略22.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等比数列；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得a