《直线与直线垂直》设计

《直线与直线垂直》教学设计【教学目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角【教学重点】会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角【教学难点】求异面直线所成角大小【课时安排】1课时【教学过程】新知初探异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.思考：空间中两条直线垂直,一定要相交吗?[提示]不一定.如果两条异面直线所成的角是直角,就称这两条直线垂直.小试牛刀1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C解析：由已知得直线c与b既可能为异面直线，也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与DC1所成角的大小为()A．120°B．90°C．60°D．30°C解析：连接AB1和B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角即为直线AB1与AD1所成的角，设∠B1AD1＝θ，在等边三角形AB1D1中，∠B1AD1＝60°，即异面直线AD1与DC1所成的角为60°，故选C.3．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为；(2)AD与BC′所成的角为．(1)60°(2)45°[(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.]例题讲解异面直线所成的角【例1】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？[解](1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．方法总结求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．当堂练习1如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．[解析]如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.∵E、F分别为BC、AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，∴EF和AB所成的角是45°.直线与直线垂直的证明【例2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.【解析】方法一如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴DB1⊥EF.方法二如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊eq\f(1,2)DB1，∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4)，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴DB1⊥EF.方法三：如图，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN.∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则MP＝eq\f(\r(2),2)k，DM＝eq\f(\r(5),2)k，DP＝eq\f(\r(3),2)k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴DB1⊥EF.方法总结证明两条异面直线垂直的步骤：(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．当堂练习2空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3.求证：AC⊥BD.[证明]∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD