数学归纳法测试卷-高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.5数学归纳法测试卷一、单选题1．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立 B．时不等式成立C．时不等式成立 D．时不等式成立2．已知是关于正整数n的命题．小明证明了命题，，均成立，并对任意的正整数k，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切正整数n均成立，则m的最大值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．43．用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（

）．A．． B．．C．． D．．4．用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（

）A．1 B．k C． D．5．如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（

）A．对所有的正整数成立； B．对所有的正奇数成立；C．对所有的正偶数成立； D．对所有大于1的正整数成立.6．已知数列的通项公式，数列的通项公式，则数列（

）A．既有最大值，也有最小值 B．仅有最大值，而无最小值C．既无最大值，也无最小值 D．仅有最小值，而无最大值7．函数，，…，，…，则函数是（

）．A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数8．已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论能用数学归纳法证明的是（

）A．B．C．D．10．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.故当时，不等式成立.则下列说法错误的是（

）A．过程全部正确 B．的验证不正确C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确11．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（

）A．p(k)对k＝528成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立12．小明和小童两位同学玩构造数列小游戏,规则是:首先给出两个数字1,10,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,10,10,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间,得到第二个新数列1,10,10,100,10,如此下去,不断得到新数列．假设第n个新数列是:记:,则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项.14．用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为______．15．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用归纳假设，应将变形为______，从而可以用归纳假设去证明．16．观察下列数表：13

57

9

11

1315

17

19

21

23

25

27

29…

…

…设1025是该表第m行的第n个数，则________.四、解答题17．用数学归纳法证明：可以被7整除.18．先猜想下列算式的和，并用数学归纳法证明：．19．请观察下列三个式子：①；②；③．归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明．20．观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．21．用数学归纳法证明：．22．考查下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？参考答案1．B【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．2．C【分析】由归纳法的步骤知，我们由在假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，结合小明证明了命题，，均成立，由此不难得到m的最大值．【详解】由题意可知，对都成立，假设成立的前提下，证明了成立，由此推得，对的任意整数均成立，因此m的最大值可以为：3．故选C．3．C【分析】根据的式子，即可比较求解.【详解】由，则，因此故选：C4．D【分析】写出时和时等式左边式子，比较即可.【详解】当时，等式左端为，当时，等式左端为，所以共增加了项.故选：D.5．C【分析】根据题意可得，当命题成立，可推出均成立．【详解】由于若命题对成立，则它对也成立．又已知命题成立，可推出均成立，即对所有正偶数都成立故选：C．6．B【分析】特殊值代入验证，利用归纳法进行简单证明.【详解】解：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，有，假设当时，有，那么当时，，时，都有，即

，又

，且n趋近无穷大时，趋近0，数列有最大值，无最小值．故选：B7．A【分析】因为是奇函数，可得也是奇函数，再根据数学归纳法证明对任意的

，有

是奇函数.【详解】易知是奇函数，，，，满足，所以也是奇函数，假设

是奇函数，则

，即也是奇函数，因此对任意的

，有

是奇函数，故：也是奇函数.故选：A8．A【分析】由数学归纳法的概念求解【详解】当时，这三个平面将空间分成了8部分，若时，平面将空间分成个部分，则再添加1个面时，与其他个面共有条交线，此条交线过同一个点，将该平面分成个部分，每一部分将所在的空间一分为二，故．故选：A9．BC【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.【详解】数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知BC能用数学归纳法证明.故选：BC.10．ABC【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.【详解】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.故选：ABC.11．AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD12．ABC【分析】根据数列的新定义,写出前4项,即可判断选项AD的正误,再根据新定义找到项数,,与第几个数列之间的关系,利用数学归纳法即可判断选项B的正误,根据和之间的联系即可得到选项C的正误.【详解】解:由题可知:第一个新数列为:1,10,10,项数为:3,,第二个新数列1,10,10,100,10,由于第二个新数列的得到是第一个数列的基础上,相邻两项积插入,故项数为:,,第三个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故项数为:,,第四个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故项数为:,,故选项A正确;不妨记第个数列时，为,当时,即第一个数列时,满足,不妨假设当时,即第个数列时满足,且数列有项,则当时,即第个数列时,数列的项数有项,此时,满足,故选项B正确;由于新数列是将两数之积插入这两数之间得到,且,故在中比多出来的部分需要乘2次,需要乘一次,再加上乘以,故有,即,故选项C正确;由选项A中可知:,,故选项D错误.故选:ABC13．3【分析】根据给定条件，分析从到时式子的变化即可作答.【详解】因为，，所以不等式左边的比增加了，共3项.故答案为：314．【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答.【详解】依题意，当时，应证明的等式为：.故答案为：15．或(写出其中一个即可)【分析】使用数学归纳法时，需要用到时的结论，即，故应将变形为含有的等式.【详解】假设时命题成立，即：能被3整除；当时，；或.故答案为：或.(写出其中一个即可)16．12【分析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第十行有29个数，分别求出左起第一个数的规律，按照此规律，即可求出答案.【详解】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1

…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，所以1025是第10行的第2个数，所以m=10，n=2，所以m+n=12；故答案为：1217．证明见解析．【分析】用数学归纳法证明．【详解】证明：（1）时，，能被7整除，（2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数），则时，，是正整数，所以能被7整除，所以时，命题成立，综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除．18．，证明见解析【分析】根据时计算其值，观察归纳规律，即可得到猜想，然后根据数学归纳法证明即可.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，由此猜想．证明：①当时，猜想显然成立；②假设（且）时，猜想成立，即，那么时，．所以当时，猜想也成立．由①②知，猜想都成立．19．，证明见解析【分析】观察各个式子左右两边的关系以及与正整数的关系，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明．【详解】．证明：①当时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边．②假设当时，命题成立，即；则当时，，所以当时命题立，由①②知，命题成立．20．一般规律：；证明见解析．【分析】总结规律后由数学归纳法证明【详解】一般规律：，证明：（1）时，左=右，等式成立；（2）假设时，等式成立，即，则当时，，等式也成立，由（1）（2）得当时等式都成立．21．见解析【分析】根据数学归纳法的解题步骤，可得答案.【详解】当时，左边，右边；假设当时等式成立，即有，当时，，则当时等式也成立，根据数学归纳法，可知等式对于任意都成立.22．猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，证明见解析【分析】由题设中的式子可以归纳得到(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，按照数学归纳法的步骤证明即可，当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2，整理即可得证【详解】由题意得，2＝2×1，3×4＝4×1×3，4×5×6＝8×1×3×5，5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当n＝1时