2022年江苏省无锡市宜兴陶都中学高三数学文月考试题含解析

2022年江苏省无锡市宜兴陶都中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题正确的是(

)

A.若,则

B.若则

C.若,则

D.若,则参考答案：D2.

实数的最大值为（

）

A．18

B．19

C．20

D．21参考答案：答案:D3.设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B4.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C考点： 定积分；几何概型．

专题： 计算题．分析： 先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求解答： 解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C点评： 本题综合考查了反比例函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．5.命题‘‘若a，b，c成等比数列，则”的逆否命题是(A)若a，b，c成等比数列，则(B)若a，b，c不成等比数列，则(C)若，则a，b，c成等比数列(D)若，则a，b，c不成等比数列参考答案：D6.设函数的最小正周期为，且，则

（）

A．在单调递减

B．在单调递减

C．在单调递增

D．在单调递增参考答案：A略7.设全集，集合，，则=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B8.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（

）A.10天 B.15天 C.19天 D.2天参考答案：C【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可.【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，解得，故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题.9.将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x=2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）=πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π=∴圆柱的最大体积为，此时r=，故选：B．10.函数满足，若，则

=

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为

▲

．参考答案：2略12.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：2如图作出可行域：令，即当直线经过B点时，纵截距最小，即t最大，此时即的最大值为2故答案为：2

13.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为______．参考答案：试题分析：直线斜率为，所以.考点：导数与切线.

【思路点晴】求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为.要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.切线与某条直线平行，斜率相等.14.若函数处的切线与直线垂直，则a=

。参考答案：15.AB是圆C：x2+（y﹣1）2=1的直径，P是椭圆E：+y2=1上的一点，则的取值范围是

．参考答案：[﹣1，]

【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，，得=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再结合y的范围即可求出结论【解答】解：设P（x，y），∵，，∴=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范围是：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，16.已知sin（2α+）=，则sin（4α+）的值是

．参考答案：﹣【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由sin（2α+）=，求出cos（4）=，由此利用诱导公式能求出sin（4α+）的值．【解答】解：∵sin（2α+）=，∴cos（2α+）=||=||，∴cos（4）=cos2（2）﹣sin2（2）==，∴sin（4α+）=cos[﹣（4）]=cos（）=cos（4）=﹣cos（4）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式和诱导公式的合理运用．17.有下列四个命题：（1）一定存在直线，使函数的图像与函数的图像关于直线对称；（2）在复数范围内，（3）已知数列的前项和为，，则数列一定是等比数列；（4）过抛物线上的任意一点的切线方程一定可以表示为．则正确命题的序号为_________________参考答案：（3）（4）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在(0，1)上是增函数.（1）

求实数的取值范围；（2）

当为中最小值时，定义数列满足：，且，试比较与的大小。参考答案：(1)易求：

（4分）(2)用数学归纳法证明：（ⅰ）时，由题设（ⅱ）假设时，则当时，由（1）知：在(0，1)上是增函数，又，所以综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意，

（8分）所以即>.

（10分）19.如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．参考答案：【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，利用勾股定理的逆定理可证明AD⊥CD，SO⊥OD，故而SO⊥平面ABCD，代入体积公式计算即可．【解答】证明：（1）取AC中点O，连结OD，SO，∵SA=SC，∴SO⊥AC，∵AD=CD，∴OD⊥AC，又∵OS?平面SOD，OD?平面SOD，OS∩OD=O，∴AC⊥平面SOD，∵SD?平面SOD，∴AC⊥SD．（2）∵SA=SC=2，∠ASC=60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC=2，OS=，∵AD=CD=，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，OD==1．∵SD=2，∴SO2+OD2=SD2，∴SO⊥OD，又∵SO⊥AC，AC?平面ABCD，OD?平面ABCD，AC∩OD=O，∴SO⊥平面ABCD，∴V棱锥B﹣SAD=V棱锥S﹣ABD=S△ABD?SO==．20.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=（ρ?cosθ+4）?cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C1，C2的直角坐标方程．（Ⅱ）设四点在C上的排列顺次至上而下为H，I，J，K，它们对应的参数分别为t1，t2，t3，t4，连结C1，J，则△C1IJ为正三角形，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲线C的参数方程代入y2=4x，得3t2+8t﹣32=0，由此能求出||HI|﹣|JK||的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．∵曲线C2：ρ=（ρ?cosθ+4）?cosθ．∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）不妨设四点在C上的排列顺次至上而下为H，I，J，K，它们对应的参数分别为t1，t2，t3，t4，如图，连结C1，J，则△C1IJ为正三角形，∴|IJ|=1，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲线C的参数方程为（t为参数）代入y2=4x，得：，即3t2+8t﹣32=0，故，∴||HI|﹣|JK||=．21.（本小题满分12分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，。（I）求函数f（x）的解析式；（II）解不等式f（）＞－2。参考答案：（Ⅰ）当时，，则， ……2分∵函数是偶函数，∴，

……4分∴函数是偶函数的解析式为

……6分（Ⅱ）∵，

……7分∵是偶函数，∴不等式可