2022年度福建省厦门市崇德中学高二数学理期末试题含解析

2022年度福建省厦门市崇德中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有四个关于三角函数的命题：p1：?x∈R，sin2+cos2=，p2：?x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny，p3：锐角△ABC中，sinA＜cosB，p4：△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB，其中的假命题是（）A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p3，p4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析给定四个命题的真假，可得结论．【解答】解：sin2+cos2=1恒成立，故命题p1：?x∈R，sin2+cos2=为假命题；当x=y=0时，sin（x﹣y）=sinx﹣siny=0，故命题p2：?x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny为真命题；锐角△ABC中，A+B＞，即A＞﹣B，即sinA＞sin（﹣B）=cosB，故命题p3：锐角△ABC中，sinA＜cosB为假命题；：△ABC中，若A＞B，则a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故命题p4：△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB为真命题；故选：C2.已知双曲线:右支上非顶点的一点关于原点的对称点为,为其右焦点,若,设,且,则双曲线离心率的取值范围是(

)A．

B．

C.

D．参考答案：B3.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

5727

0293

7140

9857

0347

4373

8636

96471417

46980371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

6710

4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（

）

A.0.85

B.0.8192

C.0.8

D.0.75参考答案：D4.随机变量X～B（n，），E（X）=3，则n=（）A．8 B．12 C．16 D．20参考答案：B【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据二项分布的数学期望公式计算得出．【解答】解：E（X）==3，∴n=12．故选B．5.已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是（

）

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④参考答案：C略6.是虚数单位，等于

（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：D7.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（

）参考答案：A8.设随机变量，满足：，，若，则（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：A9.已知函数，直线，曲线与直线的一侧所围成的平面区域的面积为，曲线与直线的另一侧所围成的平面区域的面积为，若对任意的正数，都有，则实数的取值范围是（

）A．（－∞,0）B．（－∞,1）C.（0,+∞）D．（1,+∞）参考答案：B10.以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40．②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，），且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】①系统抽样时将整个的编号分段要确定分段的间隔，当总体个数除以样本容量是整数时，则间隔确定，当不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）使剩下的总体中个体的个数能被样本容量整除；②根据样本点中心（，）点必在回归直线上，不一定过样本点，即可分析真假；③根据ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），则正态分布图象的对称轴为x=2，根据在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，进而得到随机变量ξ在（2，3）内取值的概率．【解答】解：①由题意知本题是一个系统抽样，总体中个体数是800，样本容量是40，根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔K==20，故①是假命题；②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，），但不一定过样本点，故②是假命题；③由于ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），则正态分布图象的对称轴为x=2，故ξ在（﹣∞，2）内取值的概率为0.5，又由ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（1，2）内取值的概率为0.4故ξ在（2，3）内取值的概率为0.4，故③是真命题；故选：B【点评】本题考查系统抽样、回归直线以及正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解决本题的关键是掌握相关概念，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知（x，y）满足，则k=的最大值等于

．参考答案：1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式．【分析】由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k==1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破，是中档题．12.双曲线的渐近线方程为

▲

.参考答案：略13.如图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是____.参考答案：－2由题意得，故答案为．点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．

14.对于各数互不相等的整数数组（n是不小于3的正整数），对于任意的，，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组中的逆序数等于______；若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为_____．参考答案：

3

由题意知数组(3,1,4,2)中的逆序有3,1；3,2；4,2；∴逆序数是3，∵若数组中的逆序数为n-1，∵这个数组中可以组成个数对，∴数组中的逆序数为.15.函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）=．参考答案：﹣3【考点】导数的几何意义．【分析】先将x=2代入切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（2）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（2）=﹣1，切点处的导数为切线斜率，所以f'（2）=﹣2，所以f（2）+f′（2）=﹣3．故答案为：﹣3．16.正四面体ABCD的棱长为1，其中线段平面，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面上的射影长的范围是

▲

．

参考答案：[，]．略17.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图所示为她们刺绣最简单的三个图案，这些图

案都是由小圆构成，小圆数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小圆的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小圆．则f(5)的值为

.参考答案：41三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）设△的内角所对的边分别为,且,,.(1)求的值;

(2)求的值.参考答案：(1)由余弦定理,得,………………2分

又,,,所以,……4分解得,.…………………6分

(2)在△中,,……7分

由正弦定理得,…………9分

因为,所以为锐角,所以………10分

因此.………12分19.（12分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．参考答案：（1）y=28﹣m﹣（m≥0）；（2）该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）∴1=3﹣k，∴k=2，∴x=3﹣∴每件产品的销售价格为1.5×（元），∴2010年的利润y=x?（1.5×）﹣（8+16x）﹣m=28﹣m﹣（m≥0）；（2））∵m≥0，∴y=28﹣m﹣28﹣m﹣=29﹣[（m+1）+]≤=21当且仅当m+1=，即m=3时，ymax=21．∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．20.如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，由D为AB中点，知DO∥BC1，由此能够证明BC1∥平面A1CD．（2）以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角D﹣CA1﹣A的正切值．【解答】（1）证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，∵D为AB中点，∴DO∥BC1，又∵DO?平面A1CD，BC1?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．∴=（﹣2，2，2），设二面角D﹣CA1﹣A的大小为θ，则∵平面ACA1的法向量是=（0，1，0）∴cosθ==，∴tanθ=，∴二面角D﹣CA1﹣A的正切值是．21.已知数列，其前项和为.经计算得：

.（Ⅰ）观察上述结果，猜想计算的公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明所提猜想.

参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析（Ⅰ）猜想：.

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