8、八年级下册数学矩形性质与判定讲义

矩形一、复习、导入：1、回顾平行四边形有哪些性质和判定方法？二、知识点讲解：考点一、矩形的定义和性质矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.考点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质矩形的性质包括四个方面：.矩形具有平行四边形的所有性质；.矩形的对角线相等；.矩形的四个角都是直角；.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.考点诠释（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.典型例题一、矩形的性质、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，4PBC和4QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内.求证：(1)NPBA=NPCQ=30°；(2)PA=PQ.P练习：1、如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点b,处，点A落在点A处.(1)求证：B'E=BF；(2)设AE=a，AB=>,BF=c，试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.2、如图所示，矩形ABCD中,AC.BD相交于O,AE平分NBAD交BC于E,ZCAE=15求NBOE的度数.一B EC考点二、矩形的判定矩形的判定有三种方法：.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形..对角线相等的平行四边形是矩形..有三个角是直角的四边形是矩形.考点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.典型例题二、矩形的判定C^3、如图，AB二AC,AD=AE,DE=80且/8人口二NCAE.(1)求证：4ABE/4ACD；(2)求证：四边形BCDE是矩形.同步训练：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO中，且ZABC+ZADC=180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形.（2）若NADF：NFDC=3：2,DF，AC,则NBDF的度数是多少?考点三、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.考点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.典型例题三、直角三角形斜边上的中线的性质04、如图所示，BD、CE是4ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点.求证：FGXDE.g 门练习：1、如图，NMON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）A.,/21B.屈C.卫D.55 2M课堂练习一.选择题.下列关于矩形的说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分.矩形一个角的平分线分矩形一边为15和35两部分，则它的面积为（）4cm4cm212cm24cm2或12cm23.如图，四边形3.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E使DE二人口，连接£8,EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是）加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是）（A.AB=BEB.DEXDCC.ZADB=90°D.CEXDE.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B'M或B/M的延长线上，那么NEMF的度数是（）A.85° B.90° C.95° D.100°A.85° B.90° C.95° D.100°.如图，四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,BELAD于点£,且四边形ABCD的面积为8,则BE=（）A.2 B.3 C.2v,2A.2 B.3 C.2v,2 D.2V3.矩形的面积为120cm2，周长为46cm，则它的对角线长为（ ）A.15cmA.15cmB-16cmC-17cmD-18cm二.填空题7.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB,若沿过点D的折痕DE将A角翻7.折，使点A落在BC上的A处，则NEAB=8.8.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E、F,连结CE,则CE的长9.9.如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,NAOD=12O°,AB=4cm，则矩形对角线AC长为布置作业三.解答题13.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PELBC于点E；PFLCD于点F,连接£尸，给出下列五个结论：①AP=EF；②APLEF；③NPFE二NBAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2,正确的有几个?14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,BELAC于E,DFLAC于F,点O既是AC的中点，又是EF的中点.(1)求证