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文档简介
计算机中的集合第一节集合的基本概念
1.1个体与集合之间的关系
1.2集合的表示法
1.3集合与集合之间的关系
1.4幂集第二节集合的基本运算
2.1集合的补运算
2.2集合的交运算和并运算
2.3集合的宏运算1.1个体与集合之间的关系什么是集合,关于集合的各种不同说法如下。1.莫斯科大学的那汤松教授说:凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。2.复旦大学的陈建功教授说:凡可供吾人思维的,不论它有形或无形,都叫做物。具有某种条件的物,称它们的全部谓之一集。3.南开大学的杨宗磐教授说:集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的,众可以具体,可以抽象。4.集合论之父G.Cantor(1845-1918)说:集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体,只设其为可思考对象,辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。1.2集合的表示法文字表示法用文字表示集合的元素,两端加上花括号。{在座的同学}{高等数学中的积分公式}元素列举法将集合中的元素逐一列出,两端加上花括号。{1,2,3,4,5}{风,马,牛}{2,4,6,8,10,…}谓词表示法{x︱p(x)}p表示x所满足的性质。{x︱x2=1}{y︱y是开区间(a,b)上的连续函数}{使x2=1的实数}{1,-1}{x︱x2=1}集合的特殊情况不含任何元素的集合称为空集,记为或{}。只含一个元素的集合称为单元素集,记为{a}。含讨论问题所需全部元素的集合称为全集,记为X。常用集合的字母表示:自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示.有时还用Q+表示正有理数集,用R-表示负实数集,等等.1.3集合与集合之间的关系定义1设A,B是两个集合1)若对于A中的每个元素x,都有x属于B,则称A包含在B中,记为AB。同时称A是B的子集。2)若A中的每个元素都属于B,且B中的每个元素都属于A,则称A等于B,记为A=B。子集的两种特殊情况(平凡子集):1)空集是任一集合的子集。2)每个集合是它自己的子集。集合与集合之间的关系称为包含关系。补集:
一般地,设S中一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作A即A={x│xS,且xA}.1.4幂集定义2设A是集合,A的所有子集组成的集合称为A的幂集,记为2A。2A={xxA}定理1设集合A是有限集合,A
=n,则2A
=2A。定理2设A,B是两个集合。那么A=B当且仅当2A=2B。第二节集合的基本运算2.1集合的补运算(一元运算)定义1设X是集合,A是X的子集。A={xxX∧xA}称A是A关于X的补集,称为补运算。定理1
设X是集合,A,B是X的子集。则1)(A)=A;2)若AB,则BA;3)若A=
B,则A=
B;4)X=,=X。定理2设X是全集,A,B,C是X的三个子集合,则
1)A∩A=A,A∪A=A2)A∩A=,A∪A=X3)A∩X=A,A∪X=X4)A∩=,A∪=A5)A∩B=B∩A,A∪B=B∪A6)(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)7)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
定理3设A,B,C为三个集合,则1)AA∪B,A∩BA;2)若AC且BC,则A∪BC;3)若CA且CB,则CA∩B。定理4
设A,B为两个集合,则下面三式等价。1)AB2)A∪B=B3)A∩B=A定理5
设A,B为两个集合,则1)(A∪B)=A∩B2)(A∩B)=A∪B2.3集合的宏运算定义3设A,B是两个集合,A\B={x︱xA∧xB},称A\B为A和B的差集,称\为集合差运算。由差运算、交运算、补运算的定义知A\B=A∩B。由于差运算可以由并、交、补运算线性表出,因此称差运算为宏运算。
例:如图,I为全集,集合M,N满足:MN≠,那么图中红色阴影部分用集合表示,可表示为:例:如果集合M满足M{7,13,20},且M中至多含有一个奇数,那么符合上述条件的集合M共有_______个.6个分析:集合M满足两个条件:①是集合{7,13,20}的真子集;②其
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