c题易拉罐形状和尺寸的最优设计

会计学1c题易拉罐形状和尺寸的最优设计C题目:①取一饮料容量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表。②设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比等等。③考虑壁厚及顶盖厚和壁厚不同的情况下求最优模型。

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。第1页/共17页在对易拉罐的形状进行研究时，首先分析出模型可能需要的数据，利用相应的工具多次测量求平均均值确定易拉罐各项尺寸的大小。

简化易拉罐的形状为一圆柱体时，确定出高度和半径的比值关系，并与实际测量数据进行比较分析，判断易拉罐设计的合理性；

易拉罐形状为组合体时，求解过程仍以材料最省为最优设计，建立一个广泛的最优设计模型。问题分析第2页/共17页

1、假设温度，湿度等因素变化的时候，易拉罐形状和尺寸不随之变化。2、假设整个易拉罐用同种材料制成。3、假设易拉罐顶盖和下底盖都是规则的平面。4、假设易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同，且壁很薄。5、假设易拉罐都是规则的多面体。模型假设第3页/共17页符号说明:r:易拉罐的半径h:易拉罐的高V:罐内体积

b:材料的厚度S:易拉罐的表面积SV

:材料的体积α

：待定参数其中r,h是自变量,所用材料的体积S是因变量,而b和V是固定参数,α是待定参数第4页/共17页模型建立和求解一、简化模型

把易拉罐近似看成一个正圆柱，要求易拉罐内的体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省。

第5页/共17页即圆柱的直径和高之比为1:1第6页/共17页表一:自己测量得到的易拉罐所需数据表(单位:mm)雪碧蓝代可乐平均数罐总高度H122.50122.50122.80122.60上内高

5.205.004.805.30下内高

5.005.005.105.00上盖厚

0.300.300.300.30下底厚

0.280.270.300.27侧壁厚

0.120.130.130.13罐身直径260.3060.6060.5060.47上内直径

57.4057.1057.2057.23下内直径

50.4053.0050.2051.20上外高

13.8013.6013.5013.63下底拱高

9.909.8010.209.90第7页/共17页模型二（改进）：实际上,易拉罐的壁厚是不一样的，则在不忽略壁厚情况下计算。补充假设：除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同为b饮料罐侧面所用材料的体积为：αb：顶壁厚度第8页/共17页,②饮料罐顶盖所用材料的体积为③饮料罐底部所用材料的体积为所用材料的体积：罐内体积V(r,h)：第9页/共17页

因,所以带,的项可以忽略,所以,

于是我们可以建立以下的数学模型：记其中是SV目标函数,是约束条件,V是已知的(355ml),即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的

r,h和α使得r,h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.

第10页/共17页模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题使原问题化为:求使S最小,即,求r使下式最小.第11页/共17页求临界点:令其导数为零得测量数据为,即即顶盖厚度是其他材料厚度3倍

第12页/共17页模型验证及进一步的分析

有人测量过顶盖的厚度约为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其容积为：第13页/共17页实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.可以把饮料罐的体积看成两部分,一是锥台,二是圆柱体.第14页/共17页进一步讨论此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3+0.