2003年全国统一考试理科卷

2003年普通高等学校招生统一考试（卷 学（理工农医类本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）12

2x,0cosx4,则tan2x

7310页。考试结束后.

3．设函数

2x1,xf(x) ,

若f(x0

，则x0的取值范围是

（60分

x答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题

A（－1，1） B（－1，+∞）C（－∞，－2）∪（0，+∞） D（－∞，－1）∪（1，+∞）4．O是平面上一定点，A、B、CP如果事件A、B互斥，那 球的表面积公

OPOA

|AB

|AC

则PABC A．外 B．内 C．重 D．垂如果事件A、B相互独立，那 其中R表示球的半P（A·B）=P（A·P（B）

5y

x1Ank

V4R3

exyex

,x

y

exex

,x 其中R表示球的半P(k)CkPk(1

y

exex

,x

y

exex

,x 12560分，在每小题给出的四个选项中，

a a a a 一项是符合题目要求的1 1 (3

a0,f(x)ax2bxcy

f(xP(x0,f(x0值范围为 1

]，则P到曲线y4

f1

1 3

1 3

1 3

1 3

a

[0,|b

[0,|b1

C．3

已知方程(x22xm)(x22xn)014则|mn

第Ⅱ卷（90分4416分.答案填在题中横线上

(x21)9展开式中x9的系数

1200辆，60002000F

7,0直线yx1与其相交于MN两点MN中点的横坐标为23

产品质量。现用分层抽样的方法抽取46取 1 x y1 22C．x 22

x y1 1 22D．x 22

6（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一 序A（0，0，B（2，0，C（2，1）D（0，1）.一质点从ABP0AB夹角为θBCP1CD、DA序

下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是 则tan

（x40

1 B．(1, 3

C．(2,15

D．(2,2)5

674分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤lim n

17（已知函f(x2sinx(sinxcosx).

求函数f(x)y

f(x在区间[

,

上的图象3一个四面体的所有棱长都为

22，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2 19（a0f(x)

xln(xa)(x0,的单调区间x18（如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、ECC1A1BEABD上的射影是△ABD的G.A1BABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示A1AED的距离20（A、B两队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是BAAA1AAA12313A22535A32535

21（a>0c=（0，a，i=（1，0Oc+λi为方向向量的直是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存10A队、B分分别为ξ、求ξ、η22（ 设a为常数，且a3n1 (n n1

1[3n(1)n12n](1)n2na n1anan1a0的取值范围

2003年普通高等学校招生统一考试（卷数学试题（理工农医类）5601.B2.D3.D4.B5.B6.C7.B8.C9.D10.C11.B4162

本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分解：（1）f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin441

2(sin2xcos4

cos2xsin4

1

2xy所以函数f(x)的最小正周期为，最大值为2xy（2）由（1）

f(x)0x2(2a4)xa2（i）a1x0x22a4a20即f(x)0，此时f(x)在(0,内单调递增y

f(x在区间[2

2

（ii）a1x1x22a4)xa20即f(x)0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)x=1间想象能力和推理运算能力.满分12分.（Ⅰ）BGBGBEABD的射影，即∠EBGA1BABD所成FABEF、

函数f(x)在（0，+）（iii）0a1时，令f(x)0x22a4)xa20解得x2a21a,或x2a 连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形

因此，函数f(x在区间(0,2a21a内单调递增，在区间(2a

1aEF2于是ED

FD1FD2EF332,EG21633

FD

分

内也单调递增令f(x)0,即x22a4)xa203FCCD AB3

EB1sinEBGEG61

2

2a

x2a

1a 2A1B与平面ABD所成的角是arcsin32

因此，函数f(x（2a

1a,2a

1a内单调递减（Ⅱ）连结A1D，有

VD

本小题考查离散型随量分布列和数学期望等概念考查运用概率知识解决实际问题的能（满分EDABEDEF,又EFAB

12分ED平面A1AB,A1AED2则 h 26 故A1到平面AED的距离2

P(3)222

P(2)

本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.12分

2 12解：f(x)12

x

(x0)

P(0)

33a0x0

f

35 2又 1 1AAAB 2

1AEED 6

根据题意知ξ+η=3，所以

, 2A1 4

h 26

2263

, 2（1）BGBGBEABD的射影，即∠A1BGA1BABD所成的角

（2）E3

2

15

0

E3E

23如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设E（a，a，1）G（2a,2a,1 GEaa

本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两 3

3

OPAP

yax

ya2axGEBD

2a2

0

消去参数λP(x,yyya)2a2x2 4

(ya2x 2

a

(2,2,2),BG(232

,3

(a 1cosABG1

BA1BG

14/

7|

||BG

231 3

（i）a

E27（ii）7

0a

2

2a

F

,a

A1B与平面ABD所成角是 3（2）由（1）

12121a（iii）a2

22

a22a222

F

a22a222

A1EDAA1EED∴平AEDAA1EAEDAAEDKAE上

合乎题意的两个定点本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解14分.证法一：（i）n=1a1=1－2a0AKAE，AKAAAK

（ii）n=k（k≥1）

1[3k(1)k12k] 由AKAE0，即20， 解得2

3k

3k21AK(

4)

k

1[3k1(1)k2k1](1)k1 3

n=k+1时，等式也成立.根据（i）和（ii）n∈N，成立

3n1

a3n1

3n1

a15

a0

(0,3所以 3n是公比为－2，首项

的等比数列an5

a1aa3n3an

3)(2)

00

(nN

即n

3n(1)n15

(1)n2naan

anan1

23n1(1)n13050

3

a0

(nN)

(1)n1

1)(3)n2(nN).2（i）当n=2k－1，k=1，2

(1)2k2

1)

(3)2k20即为0

132k 1( ( ②式对k=1，2

a1

3 (

0 0（ii）当n=2k，k=1，2

(1)2k1

1)

(3)2k22即

15

(3)2k2

1 ③式对k=1，25a1

(2

151

n∈N0a1 a0的取值范围为(0,).3解法二：如果anan1（n∈N*）成立，特别取n=1，2 a1a013a0aa

因此0

1 0a