b平稳时间序列模型

会计学1b平稳时间序列模型2

时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间序列模型。这里讲的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。

第1页/共27页3第一节一阶自回归模型一、一阶自回归模型如果时间序列后一时刻的行为主要与其前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即一期记忆，也就是一阶动态性。描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型:(2.1.1)

记作AR(1)。其中，为零均值(即中心化处理后的)平稳序列.为对的依赖程度，为随机扰动。第2页/共27页41.一阶自回归模型的特点

AR(1)模型也把分解为独立的两部分：一是依赖于的部分；二是与不相关的部分(独立正态同分布序列)第3页/共27页52.AR(1)与普通一元线性回归的区别:

(1)普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；

AR(1)模型只需要一组随机变量的观测值。(2)普通线性回归表示一个随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR(1)表示一个随机变量对其自身过去值的依存关系。(3)普通线性回归是静态模型；AR(1)是动态模型。(4)二者的假定不同。(5)普通回归模型实质上是一种条件回归，AR(1)是无条件回归。第4页/共27页63.相关序列的独立化过程

(2.1.1)式的另一种形式为：(2.1.3)上式揭示了AR(1)的一个实质性问题：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。由于就AR(1)系统来说，仅有一阶动态性，即在已知的条件下，主要表现为对的直接依赖性，显然，只要把中依赖于的部分消除以后，剩下的部分自然就是独立的了。第5页/共27页7二、AR(1)模型的特例——随机游动

1.

时的AR(1)模型：此时(2.1.1)式的具体形式为也可以用差分表示或所谓差分，就是与其前一期值的差，从统计上讲，差分结果所得到的序列就是逐期增长量。一般地k阶差分记作差分可以使非平稳序列转化为平稳序列。Box-Jenkins(简称记为B-J)，就是利用类似于这种数学工具来处理非平稳序列的。。第6页/共27页82.特例形式的特性：

(1)系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也就是说，系统在t-1

和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致。差异完全是由扰动引起的。(2)在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应，即(3)系统行为是一系列独立随机变量的和，即第7页/共27页9

第二节一般自回归模型

对于自回归系统来说，当不仅与前期值有关，而且与相关时，显然，AR(1)模型就不再是适应模型了。如果对这种情形拟合AR模型，不仅对,而且对呈现出一定的相关性，因此，AR(1)模型就不适应了。第8页/共27页10一、

的依赖性对当AR(1)模型中的与不独立时,我们将记为,于是可以分解为(2.2.1)从而(2.2.1)式的形式变为

(2.2.2)可见，与和有关，所以(2.2.2)式是一个AR(2)模型。第9页/共27页11二、AR(2)模型的假设和结构

1.AR(2)模型的基本假设:

(1)假设与和有直接关系,而与无关;(2)是一个白噪声序列。这就是AR(2)模型的两个基本假设。2.AR(2)模型的结构:AR(2)模型是由三个部分组成的：第一部分是依赖于的部分，用表示;第二部分是依赖于的部分;用来表示.第三部分是独立于前两部分的白噪声.

第10页/共27页12三、一般自回归模型当AR(2)模型的基本假设被违背以后，我们可以类似从AR(1)到AR(2)模型的推广方法,得到更为一般的自回归模型AR(n)模型:上式还可以表示为可见，AR(n)系统的响应具有阶动态性。拟合AR(n)模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。第11页/共27页13

第三节移动平均模型

AR系统的特征是系统在时刻的响应仅与其以前时刻的响应有关，而与之前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在时刻的响应，与其以前时刻的响应无关，而与其以前时刻进入系统的扰动存在着一定的相关关系，那么，这一类系统则为MA系统。第12页/共27页14一、一阶移动平均模型：MA(1)

对于一个MA系统来说，如果系统的响应刻进入系统的扰动仅与其前一时存在一定的相关关系，我们就得到模型:其中：为白噪声。MA(1)模型的基本假设为：系统的响应仅与其前一时刻进入系统的扰动有一定的依存关系；而且为白噪声。第13页/共27页15二、一般移动平均模型类似与AR模型,当MA(1)的假设被违背时,我们把MA(1)模型推广到MA(2),进而再对广到更一般的MA(m)模型，即：仅与这时有关，而与无关，且为白噪声序列，这就是一般移动平均模型的基本假设。第14页/共27页16第四节自回归移动平均模型一个系统，如果它在时刻t的响应，不仅与以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统，相应的模。型记作ARMA.

则对于这样的系统要使响应转化为独立序列，不仅要消除依赖于t时刻以前的自身部分，而且还必须消除依赖于t时刻以前进入系统的扰动的部分。第15页/共27页17一、ARMA(2，1)模型

1.对和的相关性由于AR(1)模型：已不是适应模型，即与和不独立，所以，这里的剩余不是我们所假设的，将其记作,将其分解为:将上式代入AR(1)模型，得这就是ARMA(2,1)模型。第16页/共27页182.ARMA(2,1)模型的基本假设

在ARMA模型中，若中确实除了对和系外，在和已知的条件下对的依存关和不存在相关关系，那么一定独立于当然也就独立于,这就是ARMA(2,1)模型的基本假设。第17页/共27页193.ARMA(2,1)模型的结构从模型中不难看出，ARMA(2,1)模型把分解成了独立的四个部分，所以，其结构是由一个AR(2)和一个MA(1)两部分构成的，具体地说，是由上述四部分构成的。第18页/共27页204.相关序列的独立化过程

将ARMA(2,1)模型如下变形：可见，ARMA(2,1)是通过从中消除对以及的依赖性之后，使得相关序列转化成为独立序列，即它是一个使相关序列转化为独立序列的变换器。第19页/共27页215.ARMA(2,1)与AR(1)的区别

从模型形式看，ARMA(2,1)比AR(1)的项数多；从模型的动态性看，ARMA(2,1)比AR(1)具有更长的记忆；从计算所需的资料看，ARMA(2,1)需要用t期以前的初期开始递，这就需要从归地计算出来，通常t＝0时的取序列的均值零；从参数估计来看，ARMA(2,1)比AR(1)困难得多。第20页/共27页22二、ARMA(2，1)模型的非线性回归为了计算的值，必须知道的值，然而在动态的条件下，本身又取决于和,则有上式是非线性的，那么估计参数时，只能用非线性最小二乘法，其基本思想就是在曲面上搜索使得剩余平方和最小的参数值，有计算程序，多次迭代即可。第21页/共27页23三、ARMA(2，1)模型的其他特殊情形

1.ARMA(1，1)当ARMA(2，1)中的系数时，有即为ARMA(1，1)模型。2.MA(1)

当ARMA(2，1)中的系数时，有即为MA(1)模型。第22页/共27页243.AR(1)

模型当ARMA(2，1)中的时，有即为AR(1)模型。因此，在建立模型时，首先拟合一个ARMA(2.1)模型，然后根据其参数值和是否显著小这一信息，来寻找较合理的模型，然后拟合出那个较合理的模型，并检验其适应性。第23页/共27页25四、ARMA(n,n-1)模型

如果一个ARMA(2，1)模型是不适应的，则是违背了基本假设，按照和推导ARMA(2,1)模型相同的思路，可以考虑不仅依赖于和，可能比ARMA(2，1)的记忆长。按照这种思想，一直如此类推下去，便可得到ARMA(n,n-1)模型:作如下变形ARMA(n,n-1)模型使相关序列转化为独立序列第24页/共27页26五、ARMA(n,n-1)与ARMA(n,m)

1.建模策略

利用上述ARMA模型的生成过程及其特性，我们可以得到对某一系统的一系列动态观察数据拟合ARMA模型的基本策略。即通过逐渐增加ARMA(n,n-1)模型的阶数，使得越来越接近一组数据的依存关系，停止在不能使这种逼近更有效地得到改善的n的数值上。2.ARMA(n,m)模型ARMA(n,m)模型实际上是ARMA(n,n-1)模型的某些参数或为零的特殊情形，所以建模策略仍适应。第25页/共27页27六、ARMA(n,n-1)模型的合理性

第二、理论依据：用Hilbert空间线性算子的基本理论可以证明，对于任何平稳随机系统，我们都可以用一个ARMA(n,n-1)

模型近似到我们想要达到的程度；用