安徽省安庆市高二数学上学期第一次段考试卷理(含解析)

一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．（5分）设直线x+y+c=0的倾斜角为α，则sinα+cosα=（）A．B．﹣1C．0D．﹣2．（5分）已知过点A（﹣1，m）和B（m，2）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则实数m的值为（）A．0B．﹣4C．2D．43．（5分）已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或4．（5分）过点（﹣4，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣1=0或3x+4y=0B．x+y﹣1=0或3x﹣4y=0C．x+y+1=0或3x﹣4y=0D．x+y+1=0或3x+4y=05．（5分）（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m值为（）A．B．C．D．6．（5分）过点A（1，﹣1）、B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4B．（x+3）2+（y﹣1）2=4C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4D．（x+1）2+（y+1）2=4227．（5分）由直线x﹣y+1=0上一点向圆（x﹣2）+（y+1）=1引切线，则切线长的最小值为A．2B．2C．3D．22228．（5分）动圆1：（x+1）+y=36内切，与圆2：（x﹣1）+y=4外切，则圆心M的M与圆CC轨迹方程为（）A．+=1B．+=1C．x2+y2=25D．x2+y2=389．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣14=0的最大距离与最小距离的差是（）A．36B．18C．D．110．（5分）直线x=±a（0＜a＜1）和y=kx，将圆x2+y2=1分成四个部分，则k与a满足的关系为（）2222+1）=12222+1A．a（k+1）≥1B．a（kC．a≤k+1D．a=k二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F的直线交于A，B两点，且△ABF的周长为16，那么C的方程为．l212．（5分）设a是正实数若f（x）=+，x∈R的最小值为10，则a=．13．（5分）直线y=x+m与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是．14．（5分）在空间直角坐标系中，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，现有平面α的方程为x+y+z﹣2=0，则坐标原点到平面α的距离为．15．（5分）对于椭圆+=1，有以下命题：①椭圆的离心率是；②椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为2；③椭圆上的点P到点（1，0）的距离与到直线x=9的距离比为；④直线mx﹣y﹣2m+1=0与椭圆必定有两个交点；⑤椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为2．此中正确的命题有（填全部正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）（1）求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l：x﹣2y+2=0，l：122x﹣y﹣2=0；（2）求圆心在直线3x+4y﹣1=0上，且过两圆x2+y2﹣x+y﹣2=0与x2+y2=5交点的圆的方程．17．（12分）设F，F分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，M是E上一点且12MF2与x轴垂直，直线MF1与E的另一个交点为N．1）若直线MN的斜率为，求E的离心率；2）若直线MN在y轴上的截距为1，且a=3，求|MN|的长．18．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为161）求|AF2|；2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．19．（13分）在直角△ABC中，已知A（﹣3，0），B（3，0），直角极点C．2（1）点C的轨迹是什么，求其轨迹方程；（2）延长BC至D使得|DC|=|BC|，求点D的轨迹方程；（3）连接OD交AC于点P，求点P的轨迹方程．20．（13分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），∠APB=135°．1）求点P的轨迹方程；2）点C（2，4），在（1）的轨迹上求一点M，使得|CM|最小，并求其最小值．21．（13分）圆C与y轴切于点（0，2），与x轴正半轴交于两点M，N（点M在点N的左边），且|MN|=3．1）求圆C的方程；2）过点M任作向来线与圆O：x2+y2=4订交于A，B，连接AN，BN，求证：kAN+kBN=0．安徽省安庆市2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．（5分）设直线x+y+c=0的倾斜角为α，则sinα+cosα=（）A．B．﹣1C．0D．﹣考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由已知得tanα=﹣1，α=135°，由此能求出sinα+cosα=sin135°+cos135°==0．解答：解：∵直线x+y+c=0的倾斜角为α，tanα=﹣1，∴α=135°，∴sinα+cosα=sin135°+cos135°==0．应选：C．评论：此题观察角的正弦值和余弦值的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意直线的性质的合理运用．2．（5分）已知过点A（﹣1，m）和B（m，2）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则实数m的值为（）A．0B．﹣4C．2D．4考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系和斜率公式可得m的方程，解方程可得m的值．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率为﹣2，3又过点A（﹣1，m）和B（m，2）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，=2，解得m=﹣4应选：B评论：此题观察直线的平行关系与斜率公式，属基础题．3．（5分）已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依据椭圆的基本看法，联合题意算出a=4且c=3，从而获得b2=a2﹣c2=7．再依据椭圆的焦点地点，即可确立此椭圆的标准方程．解答：解：∵椭圆的长轴为8，离心率是，2a=8，e==，解得a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7，所以，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为；椭圆的焦点在y轴上时，其方程为．应选：B评论：此题给出椭圆的长轴与离心率，求椭圆的标准方程．观察了椭圆的标准方程与基本看法等知识，属于基础题．4．（5分）过点（﹣4，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣1=0或3x+4y=0B．x+y﹣1=0或3x﹣4y=0C．x+y+1=0或3x﹣4y=0D．x+y+1=0或3x+4y=0考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．4分析：当直线过原点时，可得斜率为，可得点斜式方程，化为一般式即可；当直线不过原点时，设其方程为=1，代点可得a值可得直线方程．解答：解：当直线过原点时，直线的斜率为=，∴直线的方程为y=﹣x，即3x+4y=0；当直线但是原点时，设其方程为=1，代点可得=1，解得a=﹣1，∴直线的方程为=1即x+y+1=0故所求直线的方程为：x+y+1=0或3x+4y=0应选：D评论：此题观察直线的截距式方程，涉及分类谈论的思想，属基础题．5．（5分）（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m值为（）A．B．C．D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：由两点（A3，2）和（B﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，知，由此能求出m．解答：解：∵两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，∴，解得m=，或m=﹣6．应选B．评论：此题观察点到直线的距离公式的求法，解题时要仔细审题，仔细解答．6．（5分）过点A（1，﹣1）、B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4B．（x+3）2+（y﹣1）2=4C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4D．（x+1）2+（y+1）2=4考点：圆的标准方程．分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．解答：解：圆心必定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，消除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上考据D选项，不成立．应选C．5评论：此题解答灵巧，吻合选择题的解法，此题观察了求圆的方程的方法．是基础题目．227．（5分）由直线x﹣y+1=0上一点向圆（x﹣2）+（y+1）=1引切线，则切线长的最小值为A．2B．2C．3D．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：易得圆心为C（2，﹣1），半径为R=1，设直线x﹣y+1=0上任意一点为P，设切点为T，可知当PC取最小值时，切线长PT取最小值，由点到直线的距离公式可得．解答：解：由圆的方程可知圆心为C（2，﹣1），半径为R=1，设直线x﹣y+1=0上任意一点为P，设切点为T，2222则PT=PC﹣R=PC﹣1，故当PC取最小值时，切线长PT取最小值，由点到直线的距离公式可得PC的最小值为d==2，∴切线长PT的最小值为=应选：D评论：此题观察圆的切线方程，涉及点到直线的距离公式，属基础题．8．（5分）动圆122内切，与圆222外切，则圆心M的M与圆C：（x+1）+y=36C：（x﹣1）+y=4轨迹方程为（）A．+=1B．+=1C．x2+y2=25D．x2+y2=38考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC|=6﹣r，|MC|=r+2，|MC|+|MC|=81212＞|C1C2|=2，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．解答：解：设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC1|=6﹣r，|MC2|=r+2，|MC1|+|MC2|=8＞|C1C2|=2，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a=8，2c=1，a=4，c=1∴椭圆的方程为：，应选：A．评论：此题观察圆与圆的地点关系，观察椭圆的定义，观察学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣14=0的最大距离与最小距离的差是（）A．36B．18C．D．考点：直线与圆订交的性质．分析：先看直线与圆的地点关系，假如相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；6订交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0的圆心为（2，2），半径为3，圆心到到直线x+y﹣14=0的距离为＞3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6，应选D．评论：此题观察直线与圆订交的性质，点到直线的距离，是基础题．22分成四个部分，则k与a满足的10．（5分）直线x=±a（0＜a＜1）和y=kx，将圆x+y=1关系为（）2222+1）=12222+1A．a（k+1）≥1B．a（kC．a≤k+1D．a=k考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：把直线y=kx与圆方程联立，消去y后，求出x的值，由题意直线x=±a（0＜a＜1）和y=kx把圆x2+y2=1分成四个部分，获得a小于等于求出x的绝对值，平方变形后即可获得k与a满足的关系．解答：解：把y=kx代入圆x2+y2=1中，可得：x2+k2x2=（1+k2）x2=1，解得：x=±，∵直线x=±a（0＜a＜1）和y=kx把圆x2+y2=1分成四个部分，∴a≥，即a2≥，则k与m满足的关系为（k2+1）a2≥1．应选A评论：此题观察了直线与圆的地点关系，利用了消元的思想，此中依据直线x=±a（0＜a＜1）和y=kx，将圆x2+y2=1分成四个部分，得出a≥是解此题的要点．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F的直线交于A，B两点，且△ABF的周长为16，那么C的方程为+=1．l2考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：依据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，联合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，从而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．解答：解：依据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；依据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；7椭圆的离心率为，即=，则a=c，将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．评论：此题观察椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意联合椭圆的基本几何性质解题即可．12．（5分）设a是正实数若f（x）=+，x∈R的最小值为10，则a=2．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：利用配方法，将函数转变成两点距离之和，即可获得结论．解答：解：f（x）=+=+设A（x，0），B（0，2a），C（﹣4a，﹣a），则函数f（x）的几何意义为f（x）=|AB|+|AC|

+=，，则由图象可知，当B，A，C，三点共线时，|AB|+|AC|≥|BC|=，由5a=10，解得a=2，故答案为：2评论：此题主要观察函数最值的应用，依据条件将代数问题转变成几何问题是解决此题的要点．13．（5分）直线y=x+m与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是．考点：直线与圆订交的性质．专题：数形联合．分析：表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分，把斜率是1的直线平行挪动，即可求得结论．解答：解：表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，由左向右挪动，可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，直线与曲线相切时的m值为2，直线与曲线有两个交点时的m值为1，8则故答案为：评论：此题观察直线与曲线的交点问题，解题的要点是在同一坐标系中，分别作出函数的图象，属于中档题．14．（5分）在空间直角坐标系中，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，现有平面α的方程为x+y+z﹣2=0，则坐标原点到平面α的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间地点关系与距离．分析：点P（x0，y0，z0）到平面α的距离为：．解答：解：∵点P（x0，y0，z0）到平面α的距离为：，∴坐标原点到平面α：x+y+z﹣2=0的距离：d==．故答案为：．评论：此题观察空间中点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要仔细审题．15．（5分）对于椭圆+=1，有以下命题：①椭圆的离心率是；②椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为2；③椭圆上的点P到点（1，0）的距离与到直线x=9的距离比为；④直线mx﹣y﹣2m+1=0与椭圆必定有两个交点；⑤椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为2．此中正确的命题有③④（填全部正确命题的序号）．考点：椭圆的简单性质．9专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的几何性质，求相应的数值即可判断，椭圆的离心率，椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为2；整体表示即可求解：椭圆上的点P到点（1，0）的距离与到直线x=9的距离比；运用直线mx﹣y﹣2m+1=0，恒过定的（2，1），可判断地点关系；2c×b=bc，即可求解判断．解答：解：∵椭圆+=1，∴椭圆的离心率是，椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为2，椭圆上的点P到点（1，0）的距离与到直线x=9的距离比为===；∵直线mx﹣y﹣2m+1=0，恒过定的（2，1），＜1，∴点（2，1）在椭圆内，∴直线mx﹣y﹣2m+1=0与椭圆必定有两个交点，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为：×2×1=1，∴①②⑤错误，③④正确故答案为：③④评论：此题观察了椭圆的几何性质，直线与椭圆的地点关系，特别点特别直线，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）（1）求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l1：x﹣2y+2=0，l2：2x﹣y﹣2=0；（2）求圆心在直线3x+4y﹣1=0上，且过两圆x2+y2﹣x+y﹣2=0与x2+y2=5交点的圆的方程．考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）求出l1与l2的交点是（2，2）．设经过原点的直线方程为y=kx，把点（2，2）的坐标代入以上方程，即可求出圆的方程；（2）设所求圆的方程为（x2+y2﹣x+y﹣2）+m（x2+y2﹣5）=0，圆心坐标为代入3x+4y﹣1=0得，即可求出圆的方程．解答：解：（1）解方程组所以，l1与l2的交点是（2，2）．设经过原点的直线方程为y=kx，把点（2，2）的坐标代入以上方程，得k=1，所以所求直线方程为y=x．102）设所求圆的方程为（x2+y2﹣x+y﹣2）+m（x2+y2﹣5）=0．整理得（1+m）x2+（1+m）y2﹣x+y﹣2﹣5m=0．圆心坐标为代入3x+4y﹣1=0得，∴所求圆的方程为x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．评论：此题观察圆的方程，观察学生的计算能力，比较基础．17．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，M是E上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与E的另一个交点为N．1）若直线MN的斜率为，求E的离心率；2）若直线MN在y轴上的截距为1，且a=3，求|MN|的长．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出M的坐标，表示出MN的斜率获得a，b，c满足的条件，求出离心率e；（2）由题意，设MN与y轴交于P，Z则OP∥F2M，获得，求出椭圆方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出MN的值．解答：解：（1）将x=c代入+=1得y=∴M（c，）；∵F1（﹣c，0），∵MN的斜率为，∴，222∵b=a﹣c222a﹣3ac﹣2c=02e2+3e﹣2=0解得e=﹣2不合题意∴（2）由题意，设MN与y轴交于P，Z则OP∥F2M，11∴，a=3，2∴b=6，∴椭圆方程为：∵直线MN过点和（0，1）故直线MN的方程为，即代入椭圆方程得消x得3y2﹣4y﹣4=0∴，故，所以|MN|==，故|MN|的长．评论：此题观察椭圆中离心率的求法；观察直线与圆锥曲线订交的弦长的求法，属于中档题．18．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为161）求|AF2|；2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，求出：|AF1|=3，|F1B|=1，依据△ABF2的周长为16，联合椭圆的定义，即可求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|AF1|=3|BF1|知y1=﹣3y2，即可求椭圆E的方程．解答：解：（1）由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，得：|AF1|=3，|F1B|=11分因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=83分12故|AF2|=2a﹣|AF1|=8﹣3=54分（2）由（1）可设椭圆方程为，F1（﹣c，0），此中设直线AB的方程为y=x+c，即x=y﹣c，5分代入椭圆方程得：b2（y﹣c）2+16y2=16b26分整理得：（b2+16）y2﹣2b2cy﹣b4=08分42424=4bc+4b（b+16）=128by=，y=10分12由|AF1|=3|BF1|知y1=﹣3y2，得12分又因为解得，b2=8所以椭圆的方程为14分评论：此题观察椭圆的方程与定义，观察直线与椭圆的地点关系，观察学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（13分）在直角△ABC中，已知A（﹣3，0），B（3，0），直角极点C．1）点C的轨迹是什么，求其轨迹方程；2）延长BC至D使得|DC|=|BC|，求点D的轨迹方程；3）连接OD交AC于点P，求点P的轨迹方程．考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：（1）直接由题意即可获得点C的轨迹；（2）由题意可知C为BD的中点，利用中点坐标公式把C的坐标用D的坐标表示，代入（1）中的轨迹方程得答案；3）由题意可知P为△ABD的重心，由重心坐标公式用P的坐标表示D的坐标，代入（2）中的轨迹方程得答案．解答：解：（1）在直角△ABC中，由A（﹣3，0），B（3，0），可得|OC|=3，C的轨迹是以O为圆心，OC=3的圆（除A、B两点外），22故其轨迹方程为：x+y=9（y≠0）；2）由题意可知，C为BD的中点，设D（x，y），C（x0，y0），则，代入圆C是方程得，即（x+3）2+y2=36（y≠0）；3）由题意可知，O为AB的中点，C为BD的中点，故P为△ABD的重心，设P（x，y），D（x1，y1），13故，获得，代入D的轨迹方程中获得（3x+3）2+（3y）2=36（y≠0），即（x+1）2+y2=4（y≠0）．评论：此题观察了轨迹方程的求法，观察了利用代入法求圆的方程，训练了重心坐标公式的应用，是中档题．20．（13分）已知点A（﹣2，0