(参考答案)2023高考数学难点突破专题训练（3）：数列

(参考答案)2023高考数学难点突破专题训练（3）：数列高考数学难点突破专题训练（3）数列★热身训练(江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题)“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第层的货物的价格为______，若这堆货物总价是万元，则的值为______.答案:

6【解析】由题意可得第层的货物的价格为，根据错位相减法求和即可求出.【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为，设这堆货物总价是，①，则，②，由①−②可得，，∵这堆货物总价是万元，，故答案为：；.2.(江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题)对于数列，若存在正整数M，同时满足如下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得．则称数列为数列．(1)若，，判断数列和是否为数列，并说明理由；（5分）(2)若数列满足，，求实数p的取值集合．（5分）答案：【分析】(1)根据数列的定义依次判定数列、即可；(2)根据数列的定义，结合正弦函数的性质和数列的增减性依次讨论当、、、时的情况.(1)不是数列，是数列.因为(N*)，所以，故不是数列；因为(N*)，所以，又，所以是数列；(2)若数列为数列，则对于成立，且，有.当时，，即，此时最大，，又，则且；当时，设，则，所以函数在上单调递减，且，所以即在上恒成立，所以，有，此时最大，，又，故不存在满足题意的，舍去；当时，，由上述分析知，，结合，故不存在满足题意的，舍去；当时，，则，所以，此时最大，，，又，故且.综上，实数p的取值集合为或,.3.(2022—2023学年度第一学期高三阶段联考)已知数列的前项和为，满足(1)求数列的通项公式;(2)设，求数列的前项和★高考引领★难点突破：数列（一）1.（江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题）已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为A．1 B． C．3 D．4答案：B2.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在数列{an}中，sin(an＋1－an)sin(an＋1＋an)＝eq\f(1,10)，则该数列项数的最大值为A．9B．10C．11D．123.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）意大利著名数学家斐波那在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则斐波那契数列中，A. B. C. D..【答案】D【解析】，选D.4.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）（多选题）在数列eq{a\s\do(n)}中，已知a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列，其中n∈N*，则下列说法正确的是（

）ACDA．当d＝1时，a20＝20B．若a30＝70，则d＝2C．若a1＋a2＋…＋a20＝320，则d＝3D．当0＜d＜1时，a10(n＋1)＜eq\f(10,1－d)5.(盐城市2022-2023高三年级第一学期12月初调研考试数学试卷)（多选题）【答案】CD解：A：32n−32(n−1)=B：an−an−1=(C：由题{an}是等差数列，且an=a1+(n−1)p，

所以an=[a1+(n−1)p]2，

所以akn=[D：由题意，an−an−1=p且an−an−1=m，m为常数，

则m=p(an+an−1)，

所以m,p≠0时an+a故选：CD6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）已知函数f(x)的定义域R，f(0)≠0，f(1)＝eq\r(,2)，且f(x＋y)＝f(x)f(y)，若数列{an}是首项为0，公差为2的等差数列，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝．【答案】1023【解析】f(x＋y)＝f(x)f(y)，令x＝y＝0得f(0)＝1，令y＝1得到feq(x＋1)＝\r(,2)f(x),即eqf(x＋2)＝\r(,2)f(x＋1)＝2f(x),所以f(eqx＋4)＝2\s\up6(2)f(x),f(x＋6)＝2\s\up6(3)f(x)，…，因此eqf(a\s\do(1))＋…＋f(a\s\do(10))＝f(0)＋f(2)＋…＋f(18)＝1＋2＋…＋2\s\up6(9)＝1023．7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n项和，进而可利用该法求数列{(2n－1)3n}的前n项和Sn，其操作步骤如下：由于Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－1)3n，3Sn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)3EQ\S\UP6(n＋1)，从而2Sn＝－3－(2×32＋…＋2×3n)＋(2n－1)3EQ\S\UP6(n＋1)，所以Sn＝(n－1)3EQ\S\UP6(n＋1)＋3，始比如上方法可求数列{n23n}的前n项和Tn，则2Tn＋3＝．8.(江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题)已知等比数列的公比，且，则使成立的正整数的最大值为▲.答案：49.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）已知数列的通项为，且数列的前项和，若，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】化简得，采用叠加法求得，则原不等式等价于，分为奇偶分离参数，结合单调性可求的取值范围.【详解】∵，∴，∵，∴．当是正奇数时，，令，易知单减，故，∴；当是正偶数时，，令，易知单增，故，∴．综上可知，实数的取值范围为．故答案为：

10.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，若，求的值．【答案】（1）（2）25【分析】（1）根据递推公式得到奇数项和偶数项的通项公式，最后再合并即可；（2）根据题意，利用对数的运算性质求解.【小问1详解】∵，∴，所以，∴的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为2．∵，则，∴对,，所以n为奇数时，，对,，所以n为偶数时，，综上可知，，．【小问2详解】由（1）得，∴，解得．11.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）已知数列满足，，为其数列的项积，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，为其前项和，求满足不等式的最小的正整数.【解析】（1）∵为前项积，且而，，∴时上式也成立∴成首项为1，公比为-2的等比数列，∴.（2），∴由∴，∴最小的正整数.12.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在数列{an}中，a＝1，其前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若m为正整数，记集合{an|EQ\F(a\S\DO(n),2)＋EQ\F(2,a\S\DO(n))≤m}的元素个数为bm，求数列{bm}的前20项和．

13,（江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题）已知数列的首项为，且，；数列的首项，且对任意正整数，恒有.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设求数列的前项和．

14.(盐城市2022-2023高三年级第一学期12月初调研考试数学试卷)解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

由a4是a2和a8的等比中项，得a42=a2a8，即(1+3d)2=(1+d)(1+7d)，

解得d=1．

∴an=1+1×(n−1)=n；

(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k，

则新数列{bn}的前20项为：

1，21，2，22，3，23，4，215.(盐城市2022-2023高三年级第一学期12月初调研考试数学试卷)

(1)证明：an+1=4an因为a1+2=4，故数列an因此，an+2(2)解：b=3×所以，T=3因此，Tn16.(湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题)已知等差数列的首项，记数列的前项和为，且数列为等差数列.（1）证明：数列为常数列；（2）设数列的前项和为，求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）设数列的公差为，则，平方后求出，再利用可表示出，从而可得数列的公差为，从而可表示出，然后可求出为常数，（2）由（1），，则，化简后利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】证明：设数列的公差为，则，，所以所以.所以所以的公差为，因为所以，即，所以，所以为常数，所以数列为常数列；【小问2详解】由（1），，对也成立，因为，，所以.所以.★难点突破：数列（二）1.（2023届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）答案：2.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则__________．【答案】【分析】由累加法即可求得，再利用裂项相消法即可求解.【详解】由题可知：，即有，所以，当n=1成立所以，所以.故答案为：3.（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三上学期期中联考数学试题）若项数为n的数列满足：我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为2的等差数列，数列的最大项等于8．记数列的前项和为，若，则___________．答案：或4.（2023届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）5.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）已知数列的