连续系统的振动之集中质量法假设模态法模态综合法

教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似集中质量法假设模态法有限元法集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解有限元法兼有以上两种方法的特点连续系统的振动/集中质量法集中质量法工程系统的物理参数常常分布不均匀惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量可以不计或折合到集中质量上物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量集中质量的数量取决于所要求的计算精度连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的分析方法进行分析连续系统的振动/集中质量法集中质量法以等截面梁为例材料密度长度l抗弯刚度EI将梁均分为四段并将每段的质量平均分到该段的两端支座处的集中质量不影响梁的弯曲连续梁可用三个集中质量代替：质量矩阵：梁质量：横截面积度S连续系统的振动/集中质量法三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质由材料力学，得柔度影响系数：质量矩阵：柔度矩阵：可以求解系统固有频率连续系统的振动/集中质量法也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统在求得质量矩阵和柔度矩阵后，可以计算出相应的系统固有频率连续系统的振动/集中质量法连续梁三自由度系统两自由度系统单自由度系统固有频率精确解近似解误差近似解误差近似解误差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高；（3）频率阶数增高，误差增大注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于悬臂梁系统，计算精度明显下降连续系统的振动/集中质量法教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法假设模态法利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合：：模态函数：模态坐标若取前n个有限项作为近似解，则有：：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但不一定满足动力学方程的试函数族：与假设模态所对应的广义坐标动力学方程瑞利法里兹法连续系统的振动/假设模态法假定模态函数已经确定梁的近似解可写为：以均质梁的横向振动为例动能：质量阵质量阵为对称阵连续系统的振动/假设模态法假定模态函数已经确定梁的近似解可可写为：以均质梁的横横向振动为例例势能：刚度阵刚度阵为对称称阵连续系统的振振动/假假设模态法有激励存在的的拉格朗日方方程：或拉氏函数：对应于广义坐标的广义力设沿梁作用有有分布力p(x,t)当梁有虚位移时，分布力的虚功功：连续系统的振振动/假假设模态法有激励存在的的拉格朗日方方程：或分布力的虚功功：按照广义力的的定义：比较，得：矩阵形式：连续系统的振振动/假假设模态法有激励存在的的拉格朗日方方程：或T、V、Q代入拉格朗日日方程：广义力：拉格朗日方程程的矩阵形式式：弹性体的受迫迫振动转换成成了n自由度系统的的强迫振动问问题连续系统的振振动/假假设模态法梁的近似解：：动能：质量阵阵系统的的动能能：质量阵阵：如果梁梁上有有集中中质量量m，对称阵阵连续系系统的的振动动/假假设模模态法法系统的的势能能：如果梁梁上有有卷簧簧k1和弹簧簧k2，势能：：刚度阵阵梁的近近似解解：刚度阵阵：对称阵阵连续系系统的的振动动/假假设模模态法法例：等等截面面简支支梁梁中部部有一一集中中质量量Ma，大小小等于于梁的的质量量采用假假设模模态法法，求求：（1））梁的的前三三阶固固有频频率（2））梁的的稳态态横向向强迫迫振动动Ma集中质量上有外力假设模态取为：连续系系统的的振动动/假假设模模态法法解：若对第第三阶阶固有有频率率的精精度要要求不不高，，取n＝3质量阵阵：Ma模态函函数阵阵：刚度阵阵：连续系系统的的振动动/假假设模模态法法特征值值问题题：固有频频率：：正则化化特征征向量量：连续系系统的的振动动/假假设模模态法法梁的稳稳态响响应：：外力写写成分分布力力形式式：Ma强迫振振动方方程：：广义力力：广义力力列阵阵：连续系系统的的振动动/假假设模模态法法离散化化强迫迫振动动方程程：令：坐标变变换：：梁的稳稳态响响应：：求得得代入梁梁的稳稳态响响应方方程中中得解解连续系系统的的振动动/假假设模模态法法假设模模态法法动力学学方程程瑞利法法里兹法法连续系系统的的瑞利利法是是基于于能量量法的的假设设模态态法，，是多多自由由度系系统的的瑞利利法的的推广广以梁的的弯曲曲振动动为例例假设梁以某阶模态函数作频率为的自由振动：设系统统为保保守系系统，，机械械能守守恒即引入系系统的的参考考动能能：连续系系统的的振动动/假假设模模态法法定义瑞利商商：参考动动能：：当为准确的第i阶模态函数时，瑞利商即为相应的特征值，即第i阶固有频率若是试函数，它满足梁的几何边界条件，但不满足动力学方程，则瑞利商是一个依赖于的标量试函数越接近某阶真实模态，瑞利商越接近该阶固有频率与多自自由度度系统统相同同，瑞瑞利商商大于于基频频实际计计算时时可选选择梁梁的静静变形形函数数，或或选择择条件件相近近的梁梁的精精确解解作为为试函函数连续系系统的的振动动/假假设模模态法法若梁梁上上存存在在集集中中质质量量和和弹弹性性支支撑撑则最最大大势势能能和和参参考考动动能能相相应应改改为为：：连续续系系统统的的振振动动/假假设设模模态态法法例：：等等截截面面悬悬臂臂梁梁端部有一集中质量用瑞瑞利利法法估估计计基基频频解：：选择择等等截截面面悬悬臂臂梁梁在在均均布布载载荷荷下下的的静静挠挠度度曲曲线线作作为为试试函函数数：：选择择端端部部集集中中质质量量作作用用下下的的静静挠挠度度曲曲线线作作为为试试函函数数：：因集中质质量大于于梁的分分布质量量，选用用后一种种试函数数好连续系统统的振动动/假假设模模态法假设模态态法动力学方方程瑞利法里兹法里兹法是是瑞利法法的改进进瑞利法使使用单个个试函数数，而里里兹法使使用若干干个独立立的试函函数的线线性组合合：满足几何边界条件里兹基函函数待定系数都是ai

的函数瑞利商：：连续系统统的振动动/假假设模模态法瑞利商：：选择系数数ai（i＝1,2,…,n），使得得瑞利商商取驻值值：得到ai的齐次代代数方程程组，其其非零解解条件可可用来计计算系统统的固有有频率考虑梁的的弯曲振振动，其其参考动动能为：：定义：连续系统统的振动动/假假设模模态法梁的弯曲曲振动的的参考动动能：若梁上存存在集中中质量连续系统统的振动动/假假设模模态法梁的弯曲曲振动，，其最大大势能：：定义：固有频率率的近似似值连续系统统的振动动/假假设模模态法梁的弯曲曲振动最最大势能能：若梁上存存在弹性性支撑连续系统统的振动动/假假设模模态法得特征值值问题：：可求得n个特征值和n特征向量里兹法改改善了瑞瑞利法对对基频的的估计，，还可计计算高阶阶固有频频率n愈大，计计算精度度愈高计算精度度也与基基函数的的选选择有关关，通常常采用幂幂函数、、三角函函数、贝贝塞尔函函数或条条件相近近的有精精确解的的梁的模模态函数数作为基基函数第i阶模态函函数：连续系统统的振动动/假假设模模态法例：等截截面简支支梁梁中部有有一集中中质量Ma，大小等等于梁的的质量采用里兹兹法，求求：梁的的模态函函数近似似解Ma选取无集集中质量量时的梁梁的模态态函数作作为里兹兹基函数数：解：基函数满满足自然然边界条条件（两两端挠度度和弯矩矩为零））连续系统统的振动动/假假设模模态法离散化强强迫振动动方程：：模态试函函数：若对第三三阶固有有频率的的精度要要求不高高，取n＝3连续系统统的振动动/假假设模模态法模态试函函数：梁的模态态函数近近似解：：连续系统统的振动动/假假设模模态法例：楔形形悬臂梁梁单位厚度度截面变化为根部截面积用里兹法法求基频频解：截面对中中性轴的的惯性矩矩：根部截面面对中性性轴的惯惯性矩取基函数数：可以验证证，基函函数满足足所有位位移边界界条件和和力边界界条件连续系统统的振动动/假假设模模态法单位厚度度截面变化化为根部截面积截面对中中性轴的的惯性矩矩：根部截面面对中性性轴的惯惯性矩基函数：：取n＝2质量阵：：刚度阵：：连续系统统的振动动/假假设模模态法由：若取n＝1：精确解：连续系统统的振动动/假假设模模态法教学内容容一维波动动方程梁的弯曲曲振动集中质量量法假设模态态法模态综合合法有限元法法模态综合合法对于由多多个构件件组成的的复杂系系统，很很难找到到适合于于整个系系统的假假设模态态子结构的的划分应应使得子子结构易易于分析析，并且且对接面面尽量缩缩小，以以减少子子结构之之间的耦耦合实际工程程问题中中低阶模模态占主主要成分分，因此此对每个个子结构构只需要要计算少少量低阶阶模态，，然后加加以综合合对策：将复杂结结构分解解成若干干个较简简单的子子结构，，对每个个子结构构选定假假设模态态，然后后根据对对接面上上的位移移和力的的协调条条件，将将各个子子结构的的假设模模态综合合成总体体系统的的模态函函数模态综合合法连续系统统的振动动/模模态综综合法等截面直直角梁的的弯曲振振动问题题两根梁，，长度l，截面抗抗弯刚度度EI梁材料密度，截面积A处固接将直角梁梁分为两两个子结结构坐标：子结构模模态的选选取：固定界面面法，自由界面面法固定界面面法：将将两子结结构的界界面o3加以固定定，使两两子结构构成为两两端固定定的直梁梁满足几何何边界条条件的模模态函数数：不计梁的的纵向振振动，界界面无横横向位移移，但界界面可自自由转动动连续系统统的振动动/模模态综综合法当界面o3产生单位位角位移移时，各各子结构构满足几几何边界界条件的的模态称称为约束模态态，取为：：满足几何何边界条条件的模模态函数数：梁的横向向位移的的模态表表达式：：界面应满满足：位移协调调条件弯矩协调调条件代入，得得约束方方程：连续系统的的振动/模态综综合法记：令系统广义义坐标：得：系统动能：：系统势能：：连续系统的的振动/模态综综合法系统得动力力学方程：：连续系统的的振动/模态综综合法教学内容一维波动方方程梁的弯曲振振动集中质量法法假设模态法法模态综合法法有限元法有限元法20世纪五五六十年代代发展起来来的方法吸取了集中中质量法与与假设模态态法的优点点有限元法是是目前工程程中计算复复杂结构广广泛使用的的方法每个单元作作为弹性体体，单元内内各点的位位移用节点点位移的插插值函数表表示（单元元的假设模模态）由于是仅对对单元、而而非整个结结构取假设设模态，因因此模态函函数可取得得十分简单单，并且可可令各个单单元的模态态相同将复杂结构构分割成有有限个单元，单元端点点称为节点，将节点的的位移作为为广义坐标，并将单元元的质量和和刚度集中中到节点上上以杆的纵向振振动和梁的弯曲振振动为例进行介介绍连续系统的的振动/有限元元法杆的纵向振振动单元质量矩矩阵和刚度度矩阵的求求解将杆划分为为多个单元元取出其中一一个单元进进行分析单元长l，两端节点点位移u1(t)、u2(t)x位置截面的的位移：：单元假设模态（形函数））取为一个节节点坐标有有单位位移移、而其余余节点坐标标皆为零时时，单元的的静变形函函数例如：连续系统的的振动/有限元元法x位置截面的的位移：代入，得：：单元动能：：单元质量矩矩阵为常数时：材料密度：截面积连续系统的的振动/有限元元法单元势能：：单元刚度矩矩阵为常数时：弹性模量f(x,t)对虚位移的的虚功：：：与节点坐标ue

对应的单元广义力列阵若轴向力f(x,t)为常力力连续系统的的振动/有限元元法全系统的动动力学方程程以上对单元元所作的分分析必须进进行综合，，以扩展到到总体结构构以一个例子子进行说明明杆划分为三三个单元单元质量矩矩阵：单元刚度矩矩阵：单元坐标连续系统的的振动/有限元元法全部节点坐坐标列阵：：节点坐标约约束条件：：只有三个独独立定义独立的的广义坐标标：广义坐标列列阵：节点坐标与与广义坐标标之间的关关系：连续系统的的振动/有限元元法全系统的动动能：连续系统的的振动/有限元元法质量矩阵M也可直接利利用单元质质量矩阵组组集而成方法：将单元质量量矩阵me1、me2和me3的各个元素素统一按qi(i=1,2,3)的下标标重新编号号，放入M中与编号相相对应的行行和列中连续系统的的振动/有限元元法单元质量矩阵：和广义坐标相对应的质量矩阵：连续系统的的振动/有限元元法全系统的势势能：也可组集得得到：连续系统的的振动/有限元元法当杆上有常常值轴向力力作用时，，三根杆的的广义外力力阵为：系统的广义义力阵：作用力的总总虚功：与广义坐标标q对应的广义义力阵也可将Fe1、Fe2和Fe3的各个元素素统一按qi(i=1,2,3)的下标标重新编号号，放入Q中与编号相相对应的行行和列中连续系统的的振动/有限元元法用广义坐标标阵q表示的广义义质量阵、、广义刚度度阵和广义义外力阵：：用广义坐标标阵q表示的全系系统的动力力学方程：：连续系统的的振动/有限元元法梁的弯曲振振动单元质量矩矩阵和刚度度矩阵的求求解将梁划分为为多个单元元取出其中一一个单元进进行分析：单元形函数单元长l，节点横向向位移u1(t)、u3(t)，节点截面面转角u2(t)、u4(t)单元x位置截面的的横向位移移：单元节点坐坐标：选为均质梁梁在端点常常值位移作作用下的静静挠度曲线线：连续系统的的振动/有限元元法解得：单元形函数数应满足的的边界条件件：1连续系统的的振动/有限元元法代入：形函数列阵阵：单元的动能能：：材料密度：截面积单元质量矩矩阵为常数时连续系统的的振动/有限元元法单元的势能能：：抗弯刚度单元刚度矩矩阵为常数时假设梁上有有分布外力力，其虚功功：：与节点坐标ue

对应的单元广义力列阵对于均布载载荷，f为常数，有有：连续系统的的振动/