《空间点直线平面之间的位置关系》备考策略市赛获奖

《空间点、直线、平面之间的位置关系》备考策略关键词：点，直线，平面，备考策略难度：2重要程度：4内容考点一平面的基本性质及其应用【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析(1)①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．(2)如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案(1)B(2)D【备考策略】(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④【备考策略】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．考点三异面直线所成的角【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．审题路线(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积．(2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值．解(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，∵BO＝AB·sin30°＝1，∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面积S＝2×eq\f(\r(3),4)×22＝2eq\r(3).∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).即异面直线DE与PA所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).【备考策略】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范