建筑力学课件7

第十章截面几何性质§10.1形心、静矩及其相互关系§10.2惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径§10.3惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式§10.4主惯性轴和主惯性矩结论与讨论◆

构件在外力作用下产生的应力和变形，都与截面的形状和尺寸有关。与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量，如截面面积A与拉压应力计算有关、EA为拉压杆的刚度，与变形计算有关；极惯性矩IP与扭转切应力计算有关、GIP为扭转刚度，与扭转变形计算有关；惯性矩Iz与受弯的应力计算有关，EIz为弯曲刚度，与弯曲变形有关；iz为惯性半径，与压杆的稳定性计算有关。平面图形的几何量统称为截面的几何性质。◆这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。它们与研究对象的力学性质无关，但研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及截面图形几何性质。为什么要研究截面图形的几何性质截面图形的几何性质包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴、主惯性矩等。截面图形的几何性质内容包括

§10.1形心、静矩及其相互关系Centroidofarea,staticmoment1.形心Centroidofarea对于等厚度的平板，其重心坐标截面的形心就是截面图形的几何中心，重心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，即，则形心坐标与重心坐标重合。2.静矩staticmomentyzOdAzy图形对于z轴的静矩图形对于

y轴的静矩静矩量纲：[长度]3，可正、可负、可为零形心、静矩及其相互关系已知静矩可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标可以确定静矩形心轴的概念；对称轴为形心轴组合图形的形心、静矩及其相互关系例1求形心位置解：建立参考坐标系oyzyz对于由型钢组合的截面图形，必须查表确定各个图形的面积、形心坐标等参数！！！§10.2惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径（Momentofinertia;Productionofinertia;Polarmomentofinertia;Radiusofgyration）－图形对z轴的惯性矩－图形对y轴的惯性矩－图形对yz轴的惯性积－图形对O点的极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩的计算方法yzOdAzyrA量纲：[长度]4－图形对y轴的惯性半径－图形对z轴的惯性半径惯性半径的计算方法yzOdAzy＞0＞0＞0＞0,＜0惯性矩、惯性积、极惯性矩的特征若有一轴为对称轴，则yzOdAzy惯性矩、极惯性矩的关系yzOdAzyrA例2已知：圆截面直径d

求：Iy，IzdrdrdACzyDdzy已知：矩形截面b×h，求：Iy，Iz，iy，izCzybhydydAzdzdA惯性半径

思考题判断的正负A1A2§10.3惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式

移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。移轴定理y1yzz1O1OIyIy1Iz1Iy1z1IzIyzAyzOdAzyy1z1O´

移轴定理y1=y＋bz1=z＋a

已知：Iy、Iz、Iyz求：

Iy1、Iz1、Iy1z1z1y1ab

移轴定理AyzOdAzyy1z1O´z1y1ab

移轴定理如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，

移轴定理因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。在所有互相平行的轴中，截面对形心轴的惯性矩最小假定x,y为形心轴则有以下结论：若只沿x轴或y轴移动，惯性积不变当沿x轴或y轴移动时，或a=0，或b=0例求右图对形心轴的惯性矩、惯性积。解：zyy(yc,zc)思考题bzhy已知，求

由平行轴定理得：其中，a为形心到z轴的距离，A为三角形的面积。转轴定理rotation-axistheorem

所谓转轴定理（rotation-axistheorem）是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。转轴定理转轴定理已知：Iy、Iz、Iyz、求：

Iy1、Iz1、Iy1z1zyOz1y1z1y1dAzy转动

转轴定理zyOz1y1dAzyz1y1

转轴定理

图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。zyOz1y1dAzyz1y1§10.4主惯性轴和主惯性矩

主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩zyOz1y1dAzyz1y1

主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩从而确定了一对互相垂直的坐标轴y0轴z0轴。

当

改变时，Iyl、Izl的数值也发生变化，而当=0或=0+90。时，二者分别为极大值或极小值。zyOdAzy00z0y0

主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩Iy0、Iz0－主惯性矩坐标轴y0轴z0轴称为主惯性轴。

对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。

主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩

有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz=(yizidA-yizidA)=0

主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩有对称轴截面的惯性主轴

当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法

工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法

因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法

将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。

以形心为坐标原点，设Oyz坐标系y、z

轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个简单图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz和Iyz。

计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。

确定形心主轴的位置，即形心主轴与z轴的夹角。

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题

图形尺寸如图所示，求：图形的形心主矩

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题1．将所给图形分解为简单图形的组合

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题2.建立初始坐标，确定形心位置yzyC

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题yzyCyz

Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(Ⅱ)

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题yz

Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法试求图示平面图形的形心主惯性矩。

(a)

10

10

16

2

2

2

C

o22

z

y

z0

y0

(-4,9)

(4,

-9)

1．求形心位置，由对称性可知，对称中心C为形心。

2．求图形对轴和轴的惯性矩和惯性积mm4mm4

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法

(a)

10

10

16

2

2

2

C

o22

z

y

z0

y0

(-4,9)

(4,

-9)

3．求形心主轴的位置

或

确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法

(a)

10

10

16

2

2

2

C

o22

z

y

z0

y0

(-4,9)

(4,

-9)

4．求形心主惯性矩

结论与讨论怎样判断主轴？

结论与讨论怎样判断主轴？aa

结论与讨论怎样判断主轴？aaxy

结论与讨论Ixy=0，Ix=Iy=a4/12代入转轴公式，对于任意的角度，得Ix1y1=0，所以坐标系旋转任何角度都是主轴.

Ix1=Iy1=a4/12a+a-=2co