第四讲、机器人运动学

第3章机器人运动学3.1机器人的位姿描述3.2齐次变换及运算3.3机器人运动学方程3.4机器人微分运动山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.1机器人的位姿描述山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02机器人的任务手零件山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02第3章机器人运动学运动学研究的问题：

手在空间的位姿及运动与各个关节的位姿及运动之间的关系。手：目标关节：驱动对象其中：正问题：已知关节运动，求手的运动。逆问题：已知手的运动，求关节运动。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.1机器人的位姿描述对于机器人来说，我们最关心它的末端执行器相对于基座的位置和姿态，简称为位姿。

问：我们如何用一组参数来描述机器人的末端执行器相对于基座的位姿？

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.1机器人的位姿描述我们常用的物理量包括：位置、速度、加速度和力、力矩等。它们都是实际存在、与表示它们的坐标系的选择无关的量，但各坐标分量可能不同。我们经常用位置矢量来表示位置，由于它是从坐标系的原点引出的矢量，这样，它的大小就与坐标系的选择有着密切关系。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02一、机器人位姿的表示1、位置的表示坐标系建立后，任意点p在空间的位置可以用矢量来描述，或用一个3×1的列矩阵描述；例如，点p在{A}坐标系中可表示为：

3.1机器人的位姿描述山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、姿态（或称方向）的表示我们知道：两个刚体的相对姿态可以用附着与它们上的坐标系来描述。3.1机器人的位姿描述山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标系来表示；因此，刚体B相对于刚体A的姿态等价于附着于刚体B的坐标系{B}相对于附着于刚体A的坐标系{A}的姿态。坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用坐标系{B}的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中的表示给出：

这里前上标A说明：{B}的三个基矢量在A坐标系中表示。3.1机器人的位姿描述山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02即：3.1机器人的位姿描述úúúûùêêêëé=),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBzzAyzAxzAzyyyxyAzxyxAxxARAB基矢量都是单位矢量，因此，上式又可以写成：它的每一列为{B}的基矢量在{A}中的分量表示。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.1机器人的位姿描述

称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。旋转矩阵的性质：

1、每一列是{B}的基矢量在{A}中的分量表示，同样，每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。

2、三个列（或行）向量两两正交。

3、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。

4、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023、位姿的统一表示定义一组四向量矩阵[RP]，如图。其中，表示{j}相对{i’}的姿态，表示{j}的原点相对{i}的位移。我们可以将{j}坐标系相对{i}坐标系描述为：p3.1机器人的位姿描述山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2.1、点在不同直角坐标系中表示

1、坐标系间平移设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩阵iPjorg表示坐标系{j}的原点相对坐标系{i}的位置，则同一点P在两个坐标系中的表示的关系为：3.2齐次变换及运算P山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/022、坐标系间旋转设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，但它俩的姿态不同。设有一向量P，它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i}中如何表示？设：3.2齐次变换及运算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp其中：是向量P相对{j}坐标系的坐标分量。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02如何求向量P在{i}中的表示？设：其中：分别为对i坐标系的三个基矢量的投影。3.2齐次变换及运算对，有：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算同理可写出，最后，可统一写成：即：其中山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024、常用的旋转变换、绕z轴旋转θ角坐标系{i}和坐标系{j}的原点合，坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i}绕z轴旋转了一个θ角。θ角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆时钟为正。3.2齐次变换及运算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算1/16/2023上式也可以表示坐标系固定，向量绕Z轴反向转动θ角。定义其中的：设矢量P在{j}中的分量表示为[xj

,yj

,zj]，则在{i}坐标系的表示为：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：

3.2齐次变换及运算ｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：

3.2齐次变换及运算ｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02绕任意轴的转动设绕k=[kx,ky,kz]T轴转动θ角，则旋转矩阵为：其中：3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02逆问题：若给定一旋转矩阵:则可计算出：3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算例1：一个向量绕ZA旋转θ°，接着再绕XA旋转Φ°，求完成上述转动的旋转矩阵。解：则：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023、旋转矩阵的解释对同一个数学表达式可以给出多种不同的解释，例如：旋转矩阵可用于表示向量相对坐标系的旋转；另外，向量的“向前”旋转，还可以解释为坐标系“向后”的旋转。旋转矩阵还可以表示两个坐标系的相对姿态，用于求同一个向量在不同坐标系中的表示。

3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02例2：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先坐标系{B}绕坐标系{A}的z轴旋转30°，求旋转变换矩阵。假设某点在坐标系{B}中的矢量为

，求该点在坐标系{A}中的矢量。解：由题意可得旋转变换矩阵为：3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算这里，表示坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态。向量r在{A}中的表示为：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算5、联合（旋转+平移）设坐标系{i}和坐标系{j}坐标原点不重合并具有不同的姿态，可认为{j}先旋转R再平移Pjorg得到。则空间任一矢量在坐标系{i}和坐标系{j}之间有以下关系：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先坐标系{B}绕坐标系{A}的z轴旋转30°，再沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在坐标系{B}中的矢量为

，求该点在坐标系{A}中的矢量。3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：

和则：

3.2齐次变换及运算1/16/2023山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/021、齐次坐标的定义空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用表示，若有四个不同时为零的数与三个直角坐标分量之间存在以下关系：则称是空间该点的齐次坐标。3.2齐次变换及运算3.2.2、齐次坐标变换以后用到齐次坐标时，一律默认k=1。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算2、齐次坐标变换与位姿矩阵为何使用齐次坐标？在进行联合变换时，变换关系为：相比单步变换中的平移变换矩阵或旋转变换矩阵，上述表示就显得非常繁琐，不便于矩阵计算；问：能否像单步变换那样表示称一个简单的矩阵关系？山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02我们引入齐次坐标表示，这时，P在{i}和{j}坐标系中的齐次表示分别为：和联合变换的计算公式就可以用齐次坐标写成：3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02可以很容易验证，上述齐次坐标表示的联合变换，与普通坐标表示的是等价的。可以将其简写成矩阵形式：

3.2齐次变换及运算式中，称为齐次坐标变换矩阵，它是一个4×4的矩阵。

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/021）、齐次坐标变换矩阵的意义若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3×1矩阵是两个坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。

3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02联合变换与单步齐次变换矩阵的关系：任何一个齐次坐标变换矩阵均可分解为一个平移变换矩阵与一个旋转变换矩阵的乘积，即：3.2齐次变换及运算注意：矩阵相乘是不可交换的。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算

由：可知：而：因此，根据我们定义的齐次变换矩阵的意义，其作用是：先旋转，后平移。在书写上是：先写平移，再乘旋转。（若考虑相对变换，也可认为是先平移后旋转。）山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算2）齐次坐标变换的相对变换问题例1可以看出，对一个向量绕坐标系或一个坐标系绕另一坐标系进行一系列的连续旋转的情况（这种旋转称为绝对旋转），可以通过向量或坐标系左乘一系列相应的旋转矩阵来实现，先旋转的靠近向量或坐标系，根据旋转的先后循序依次向左延伸。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算

如果我们将变换矩阵右乘向量或坐标系情况又将如何？我们通过一个例子来说明。设一坐标系{B}相对坐标系{A}的齐次变换矩阵表示为：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算有一个齐次变换矩阵：则：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算我们讨论结果的几何意义：看看乘Rot(z,90)后如何变化？{B}没有绕{A}坐标系的z轴旋转90度，而是绕{B}坐标系旋转了90度。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算

另外，{B}没有向{A}坐标系的x轴方向移动2个单位，而是向旋转后的{B}坐标系的x方向移动2个单位。结论：变换矩阵右乘向量或坐标系，则使向量或坐标系发生相对运动；先变换靠近向量或坐标系的，根据变换的先后循序依次向左延伸。左乘和右乘原则：绝对运动变换矩阵左乘，即先做的在右边，后做的在左边。相对运动变换矩阵右乘，即先做的在左边，后做的在右边。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算例3（3-2）：已知坐标系{B}先绕坐标系{A}的z轴旋转90°，再绕坐标系{A}的x轴旋转90°，最后沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐标系{A}与{B}之间的齐次坐标变换矩阵MAB。解：绝对运动，左乘原则。

MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90)

如果上述运动为相对运动，则应用右乘原则。有：

MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9)山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.2齐次变换及运算考虑了相对变换后，齐次坐标变换矩阵:M=TransRot

可以认为是：

先平移，然后做相对旋转。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023）、齐次变换的逆变换逆变换的运动学意义：

设正齐次变换为Mij，它表示先旋转后平移，或{J}在{i}中表示。由于：可见，Mji可理解为{i}在{j}中表示，称其为Mij

的逆矩阵。3.2齐次变换及运算从右图中，我们可以看出正、逆变换间的运动学意义：顺序颠倒，符号取反。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02根据上述运动学关系，容易推到出齐次变换的逆变换计算公式。例：设Mij为绕z轴旋转θ，再平移P，则相应齐次变换阵为：（注：从书写上也可以说先平移后旋转）3.2齐次变换及运算山东大学机械工程学院机电工程研究