实对称矩阵的对角化

1§4.3

实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值与特征向量的性质二、求正交矩阵的方法三.小结与思考题2实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P,使得T

，使得定理4.6

实对称矩阵的特征值都是实数.注：①任意实n阶矩阵的特征值不一定是实数．一.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质②由于实对称矩阵A的特征值都是实数,故方程组设为实系数方程组，所以它必有实特征向量．,更可找到正交矩阵3定理4.6的意义表明：实对称矩阵A的特征值为实数,所以齐次线性方程又因为组是实系数方程组.有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.,可知该齐次线性方程组一定定理4.7

实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交.证

设1,

2是实对称矩阵A的两个特征值,且分别是A对应于1,2的特征向量．即4则即因为A为实对称矩阵，用X2

右乘上式两端,得

由于1不等于2，所以故X1

与X2

正交．5定理4.8设

A实对称矩阵，0为A的k重特征值，则推论任意实对称阵必与对角阵相似．定理4.8另一种表述为：实对称矩阵A的属于k重特征值0的线性无关的特征向量恰有k

个.定理4.9

对于任意一个n阶实对称阵A，都存在一个n阶正交矩阵Q，使对角阵

定义4.4

设A、B是两个n阶矩阵，若存在正交矩阵Q，使得则称矩阵A与B正交相似．6二、求正交矩阵的方法将n阶实对称矩阵A的每个k重特征值对应的k个线性无关的特征向量用施密特方法正交化后,它们仍是A的属于特征值的特征向量.可见,

n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量,再将这n个正交向量单位化,得到一组标准正交基,用其构成正交矩阵Q,有其中为A的n个特征值.于是得出7求正交矩阵Q,把实对称矩阵A

化为对角阵的方法：1.解特征方程求出对称阵A的全部不同的特征值(根).即求齐次线性方程组的基础解系.3.将属于每个i的特征向量先正交化，再单位化.2.对每个特征值i,求出对应的线性无关特征向量,这样共可得到n个两两正交的单位特征向量为列向量构成正交矩阵8即必须注意:对角阵中有的顺序要与特征向量的排列顺序一致.9例1设矩阵求正交变换矩阵Q使A相似于对角阵．解将矩阵A的特征值i分别代入齐次线性方程组为10求解可得相应的线性无关且正交的特征向量为将它们单位化，得由于这是三个不同的特征值,对应的齐次线性方程组分别为：11因此正交变换阵Q为12则13例2设矩阵求正交变换矩阵Q使A正交相似于对角阵．解由解得矩阵A的全部特征值为14得A的属于特征值8的线性无关特征向量为将X1

单位化得15解齐次线性方程组

得A的属于特征值2的线性无关特征向量得用施密特方法正交化并单位化得两个长度为1且相互正交的向量为16于是得正交变换矩阵17则例3

设矩阵求正交矩阵Q,使得Q-1AQ为对角阵.18解由19解得基础解系只需把X1

单位化，得20解得基础解系只需把

X2

单位化,得21解得基础解系只需把X3单位化，得得正交矩阵Q有22

设3阶实对称方阵A的特征值为1,2,3,A的属于特征值1,2的特征向量分别是

X1=(-1,-1,1)T

,X2=(1,-2,-1)T,求方阵A和A的属于特征值3的特征向量.三.小结与思考题思考题11.了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质.2.掌握求正交矩阵Q

把n阶实对称矩阵对角化的方法.23设A的特征值3所对应的特征向量为因实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交,于是思考题1解答24即解得基础解系则A的属于特征值3的全部特征向量为25由26判断n阶矩阵A、B是否相似,其中思考题227由即因为A是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P1，使得思考题2解答28又可见,B与A有相同的特征值.对于B的n-1重特征根因为R