第5章 虚功原理与结构位移计算

§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下的位移计算§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-5图乘法§5-6温度作用时的位移计算§5-8变形体的虚功原理§5-9互等定理§5-10小结第5章

虚功原理与结构位移计算§5-7用求解器进行位移计算(略)§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移位移产生的主要原因（1）荷载作用（2）温度变化和材料胀缩（3）支座沉降和制造误差刚体体系位移，无应变变形体体系位移，有应变虚力原理—虚设力系求位移图(a)中的静定梁，支座A向上移动已知距离c1，拟求B点的竖向位移△。虚设力系如图(b)虚功方程为求得支座移动时静定结构的位移计算图(a)中支座A有给定的竖向位移cA，拟求：（1）C点的竖向位移△C（2）杆CD的转角β（1）求△C，虚设力系如图(a)虚功方程为求得（2）求β，虚设力系如图(b)虚功方程为求得设支座K有给定位移cK，静定结构的位移计算步骤为（1）沿拟求位移△方向虚设相应的单位荷载，求出相应的（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程（3）由虚功方程解出拟求位移若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。1.局部变形时静定结构的位移计算举例例5-1图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。试求点的竖向位移△。解：实际位移状态可改用图(b)表示虚设力系如图(c)虚功方程为解得§5-2结构位移计算的一般公式例5-2在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α

角的斜向位移分量△。解：图(a)的实际位移状态可改用图(b)来表示。虚设力系如图(c)

虚功方程为解得2.局部变形时的位移公式图(a)所示悬臂梁B点附近的微段有局部变形，其他部分没有变形。微段ds两端截面的相对位移如图(b)虚设力系如图(c)虚功方程为或局部变形时的位移公式结构位移计算的一般公式根据叠加原理如果结构有多个杆件在支座处还有给定位移cK式中：弯曲变形κ对位移的影响

轴向变形ε对位移的影响

剪切变形γ对位移的影响

支座位移cK对位移的影响荷载作用下弹性位移的一般公式为梁和刚架桁架桁梁混合结构拱§5-3荷载作用下的位移计算例5-3试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移△，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。实际荷载作用下的内力如图(a)虚设单位荷载作用下的内力如图(b)总位移设μ=1/3，E/G=8/3I/A=h2/12§5-4荷载作用下的位移计算举例例5-4图(a)所示为一屋架，图(b)是屋架的计算简图。试求顶点C的竖向位移。解（1）求FNP如图(c)（2）求如图(d)（3）求△C代入数据求得例5-5图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧

AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。解：虚设荷载如图(b)图(a)中图(b)中设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12例5-6试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。解：虚设力系如图(b)实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图，截面抗弯刚度EI为一常数。图中AB杆件为直杆，Mi图是直线图，则可得注意：y0应取自直线图中；面积A与标距y0在杆的同一边时，乘积A

y0取正号。§5-5图乘法例5-7试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。解：荷载作用下的MP图如图(a)虚设单位力偶作用下的如图(b)例5-8试求图(a)所示悬臂梁中点C的挠度△C。解：MP图和如图(a)、(b)所示图中三角形面积为MP图中相应的标距为如果计算MP图面积及图上相应的标矩，如何考虑？求得例5-9试求图(a)所示刚架结点B的水平位移△。各杆截面为矩形

bh，惯性矩相等，只考虑弯曲变形。解：作MP图和图，如图(b)、(c)所示MP图的面积分为A1、A2、A3三块计算图上相应的标矩为求得例5-10试分析例5-9所示刚架轴向变形对B点水平位移的影响。解：作FNP图和图如图(a)、(b)所示由例5-9求得可得h/l=1/10时如图(a)：设杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上升t2，沿杆件截面厚度为线性分布，α为材料的线膨胀系数。上下边缘的温差由图(b)，杆件的轴线温度得若t0、△t、h沿每一杆长为常数则§5-6温度作用时的位移计算例5-11试求图(a)所示刚架C点的竖向位移△C。各杆截面为矩形，截面高度h=60cm，α=0.00001℃-1。解：虚设力系作图和图，如图(b)、(c)得则设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内力虚功Wi。即力系平衡条件图(a)所示直杆处于平衡状态图(b)所示微段隔离体应满足平衡条件§5-8变形体的虚功原理变形协调条件微段dx的三个应变分量如图(b)，可得直杆AB的位移和变形如图(a)，三个位移分量：截面的角位移θ、截面形心的轴向位移u和横向位移w。杆轴切线的角位移为轴线的线应变截面平均切应变外力在位移上所作的虚功为微段dx两侧面的应力合力在变形上作的内虚功为整个变形体的内虚功为变形体虚功方程为变形体虚功方程变形体虚功方程的两种应用（1）变形体虚力方程：虚设平衡力系，则虚功方程可写为若杆件上有集中荷载作用，则变形体虚功方程为加*号的量表示虚设量（2）变形体虚位移方程：虚设变形形态，则虚功方程可写为单位支座位移法结构处于某个平衡受力状态，已知荷载FP和各杆内力M、FN、FQ，拟求某个支座反力（或约束反力）FR1。虚设与FR1相应的单位支座位移代入虚位移方程得若为静定结构，当虚设单位支座位移时，虚设应变为零，则应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。结构变形很小，不影响力的作用。1.功的互等定理状态I的力系在状态Ⅱ的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为状态Ⅱ的力系在状态I的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为显然即§5-9互等定理2.位移互等定理如图(a)、(b)，由功的互等定理令或—称为位移影响系数可得即3.反力互等定理如图(a)、(b)，由功的互等定理令或—称为反力影响系数可得即4.位移反力互等定理如图(a)、(b)，由功的互等定理即令或可得即1.位移计算的一般公式及灵活应用要虚设力系—虚力法：以单位荷载为标志—单位荷载法△：拟求的广义位移，FP=1：与△共轭的单位