第19讲 匀速圆周运动

在复习本部分内容时，应侧重曲线运动的分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运动．对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和重点．在有关圆周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内容．/jty/main/index.shtm第19讲匀速圆周运动自主·基础构建导学建议自主导学一、描述圆周运动的物理量1．线速度：线速度是描述质点沿圆弧①运动快慢的物理量，做圆周运动的物体通过的圆弧的长度和所用时间的比值叫做线速度的大小，线速度的方向就是该点的②切线方向．2．角速度：在圆周运动中质点③转过的角度和④所用时间的比值叫质点运动的角速度大小.3．周期、频率、转速：做匀速圆周运动的物体转过一周所用的时间叫做⑤周期，符号为T；周期的倒数叫⑥频率，符号为f，单位为Hz./jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm名师点拨因为向心力是按力的作用效果命名的力，不是某种性质的力，所以向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，也可以是某个力的分力提供，要根据物体受力的实际情况判定．

如图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①放在A盘的边缘，钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a、b两轮的半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下(不打滑)匀速转动时，钢球①、②受到的向心力之比为________．

/jty/main/index.shtm达标自测1二、圆周运动的受力分析若做圆周运动的物体所受的合外力不沿半径方向，可以根据F的作用效果分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的切向分力Fτ和指向圆心方向的法向分力Fn，切向分力Fτ产生的切向加速度改变物体速度的⑬大小；法向分力Fn产生的向心加速度改变物体速度的⑭方向．仅有向心加速度的运动是⑮匀速圆周运动，同时具有切向加速度和向心加速度的圆周运动就是⑯变速圆周运动．一个小球在竖直放置的光滑圆环的内槽里做圆周运动．关于小球的加速度方向，下列说法中正确的是(

)A．一定指向圆心B．一定不指向圆心C．只在最高点和最低点指向圆心D．不能确定是否指向圆心/jty/main/index.shtm达标自测2【解析】小球受重力与圆环弹力的作用，重力方向竖直向下，弹力方向沿半径方向，只在最高点和最低点小球所受重力与弹力的合力才指向圆心．根据牛顿第二定律，小球的加速度也只在最高点和最低点指向圆心．【答案】C三、离心运动做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着⑰切线方向飞离的倾向，它之所以没有飞出去，是因为有⑱向心力在持续地拉着它，把它保持在圆周上．在所受的向心力突然消失，或所受指向圆心的合外力⑲小于所需向心力的情况下，物体将沿圆周的⑳切线方向或沿某一曲线飞离圆周，这样就发生了离心运动．/jty/main/index.shtm如图所示，当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动；当F＜mrω2时，物体做半径增大的曲线运动．

名师点拨离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，离心运动也不是沿半径方向向外远离圆心的运动．如图所示，小球m在拉力F作用下在光滑水平面上做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生/jty/main/index.shtm达标自测3变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是(

)A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动【解析】开始时小球做圆周运动，说明此时的拉力恰好能提供向心力．若此时拉力消失，则向心力消失，小球将沿切线方向做匀速直线运动．若拉力突然变小，则向心力不足，小球将沿轨迹Pb做离心运动；若拉力突然变大，则小球将沿轨迹Pc做向心运动．【答案】A/jty/main/index.shtm四、竖直平面内的圆周运动1．如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm2．如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界＝(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：/jty/main/index.shtm达标自测4如图所示，质量为m的小球在竖直面内的光滑圆环上做圆周运动．已知圆周的半径为R，重力加速度为g，小球经过最高点时，刚好不脱离圆环．则在其通过最高点时(

)/jty/main/index.shtm题型一：传动装置中各物理量间的关系如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中轮上A、B、C三点所在处半径分别为rA、rB、rC，且rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是(

)A．aA＝aB＝aCB．aC>aA>aBC．aC<aA<aBD．aC＝aB>aA/jty/main/index.shtm互动·方法探究题型方法例题1/jty/main/index.shtm在分析传动装置中各物理量间的关系时，要牢记下面的两个关系：(1)靠皮带、齿轮或摩擦传动的轮子，在不打滑的情况下，轮子边缘上各点的线速度大小相等，角速度则与半径成反比；(2)同一轮子或同轴传动的轮子上各点运动的角速度ω、转速n和周期T均相等，线速度则与半径成正比．题型二：水平面内的圆周运动问题如图所示，半径为R的半球形碗内有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为μ.当碗绕竖直轴OO′匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．/jty/main/index.shtm例题2[思维点拨]解决该问题的关键有两点：(1)对物体A进行正确地受力分析，求出物体A所受的合力即A做圆周运动的向心力；(2)找出A做圆周运动的轨道平面、圆心所在的位置以及轨道半径的大小．[规范解析]物体A做匀速圆周运动，其在碗边缘所受到的弹力提供向心力，有：FN＝mω2R而摩擦力与重力平衡，则有：Ff＝μFN＝mg/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm解这类问题首先要确定匀速圆周运动的圆周轨道所在平面，其次找出轨道圆心的位置，然后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力图，找出这些力的指向圆心方向的合力就是向心力，最后应用向心力表达式即可求解．题型三：竖直平面内的圆周运动问题

[2010年江苏扬州模拟]如图所示，一过山车在半径为R的轨道内运动，已知过山车的质量为M，里面人的质量为m，运动过程中人与过山车始终保持相对静止．(1)当过山车以多大的速度经过最高点时，人对座椅的压力大小刚好等于人的重力？此时过山车对轨道的压力为多少？/jty/main/index.shtm例题3/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm变式拓展[2009年上海南汇模拟]如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：(1)要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？(2)若盒子以第(1)问中周期的做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？【规范解析】(1)设此时盒子的运动周期为T0，因为在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用．根据牛顿运动定律得：/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm高考排雷一小物块由某高处自由落下，从内壁粗糙的半球形碗边的A点滑入碗内，由于摩擦力的作用，在下滑过程中小物块的速率恰好保持不变，如图所示．则在下滑过程中(

)A．小物块所受的合外力为零B．小物块所受的合外力越来越大C．小物块所受的合外力大小不变，方向时刻改变D．小物块所受的摩擦力大小不变【错解】BD【剖析】将匀速圆周运动当做平衡状态而错选A；用光滑圆轨道内小球在最低点时向心力最大的结论直接选B；

/jty/main/index.shtm例题4不能对物块进行全面的受力分析和力的变化分析，不能换位思考“重力沿切向的分力总等于滑动摩擦力”，认为物块做匀速圆周运动时向心力大小恒定，并将此向心力当成轨道的支持力N，由f＝μN得f不变，因而判断摩擦力大小不变而错选D.【正解】匀速圆周运动的性质是变加速曲线运动，加速度大小不变，方向时刻改变，速度也时刻在变，故合力不可能为零，A错；但由于物块的速率不变,故物块做匀速圆周运动，其所受的合力大小不变，只是方向时刻改变，所以B错，C对；对小物块进行受力分析得，小物块同时受重力G、曲面的支持力N和摩擦力f三个力的作用,f始终垂直于N，速度大小不变,可知摩擦力f始终等于重力G在切向的分力,通过受力分析可知，在物体下落到碗底之前所受的摩擦力一直变小，所以D错．【答案】C/jty/main/index.shtm五年高考1．[2008年高考·宁夏理综卷]图示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(

)/jty/main/index.shtm[命题分析]本题考查的是线速度、角速度以及半径之间的关系，关键是知道两轮边缘上各点的线速度等大．[规范全解]因为皮带不打滑，两轮缘上各点的线速度等大，各点做圆周运动的速度方向为切线方向，则皮带上的M、N点均沿MN方向运动，从动轮沿逆时针方向转动，B对，A错．根据线速度与角速度的关系式有：v＝rω，ω＝2πn.【答案】BC2．[2009年高考·广东卷]如图甲所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块．求/jty/main/index.shtm(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小．(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．[命题分析]本题考查的是向心力公式的应用．解答本题时首先应对物块进行受力分析，并进行正交分解，再分别根据共点力平衡和向心力公式列方程求解./jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm3．[2008年高考·山东理综卷]某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以va＝5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其他机械能损失．已知ab段长L＝1.5m，数字“0”的半径