数值计算课件-第一章数值计算引论

数值计算方法电力系发电教研室

郝育黔本课程的性质、目的和任务：本课程是电气工程及其自动化专业一门专业基础课。其目的是通过本课程的学习，使学生掌握利用计算机计算各种数学模型的数值计算方法，并通过数值上机实验提高学生程序设计的基本技能。为进一步学习专业课和毕业后从事专业工作打下必要的基础。课时安排：

讲课：28学时上机：12学时

第一章数值计算引论主要内容（预备知识）：数值计算方法的概念、研究对象及特点数值计算中的误差；近似数的误差表示法；运算误差分析；减小运算误差的原则；

随着计算机技术的发展和科学研究、生产实践的需要，利用计算机作为科学计算的主要工具越来越不可缺少。科学计算（仿真）已成为和传统的科学方法—理论和实验相并列的第三种科学方法。因而要求研究适合计算机使用的数值计算方法。§1.1数值计算方法解决科学计算问题的过程数值方法计算机近似解实际问题数学模型数值算法是连接理论与实践的桥梁！！验证数值计算方法，又称数值分析,它是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。数值计算方法以数学问题为研究对象，但它不是研究数学问题本身。

而是着重研究求解的数值方法及其相关理论，包括误差分析、收敛性和稳定性等。数值计算方法定义：解决的数学问题计算方法课是研究各种数值算法及其有关理论的一门课程。从工程实际出发，本课程所要解决的数学问题主要是：非线性方程的数值求解线性方程组的数值求解插值和曲线拟合数值积分和微分常微分方程的数值求解。

数值算法特点：

1〉面向计算机

根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的；2〉保证算法的收敛性和稳定性

数值算法的数值解能任意逼近精确解到要求的程度；还要保证算法的数值稳定性。3〉要有好的计算复杂性算法的计算复杂性是指该算法的空间复杂度和时间复杂度。空间复杂度：指算法需占用的存储空间.时间复杂度：指算法包含的运算次数，即收敛速度。

例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行次运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。计算方法中常用的一些概念数值问题：由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题。数值解：经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为数值解。一般为近似值。算法：由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。§1.2误差的来源

从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差

通过测量得到模型中参数的值

——观测误差

求近似解——方法误差(截断误差）

机器字长有限——舍入误差大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4取则称为截断误差=0.747……§1.3

误差与有效数字绝对误差其中x为精确值，x*为x的近似值。，例如：工程上常记为，称为绝对误差限

，简称误差、精度的上限记为由于无法准确地知道绝对误差的大小，但根据具体情况可估计处误差范围。误差限不唯一，实际中常用四舍五入来取近似值。例如测量数据、四舍五入数据对于四舍五入取得的近似数，怎么来体现它的精度？-----有效数字有效数字用科学计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。有效数字即有效数字位数，它是由绝对误差决定的。定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。

另一等价定义：

例：问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43关于有效数字还要指出以下几点：1)用四舍五入取准确值的前n位作为近似值，则必有n位有效数字。2)把任何数乘以10p，等于移动该数的小数点。这样不影响其有效数字位数。例如：9.80写成0.0098003）数字末尾的0不可随意省去0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。⑷准确值被认为具有无穷多位有效数字相对误差x的相对误差上限定义为:绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量

哪个近似程度好？定义：实际应用：相对误差限在实际计算中常称为相对误差。由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。1.4

函数的误差估计问题：对于y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？

设一元函数的自变量的近似值为，的近似值为，其误差限记为。将在近似值作泰勒展开

介于，之间。取绝对值得

其中：为近似数的绝对误差限。分析：利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。1.4

函数的误差估计注：关于多元函数的讨论，请参阅教材第10页。忽略高次项，可得到函数运算相对误差:函数运算绝对误差:利用多元函数的误差估计公式可得和、差、积、商的误差估计1.5减小运算误差的若干原则1.避免相近二数相减(详细分析请参阅教材P11)例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：公式变换如果计算公式不能改变时，增加有效位数；当很接近时，采用泰勒展开；1.5减小运算误差的原则2.避免小分母:分母小会造成浮点溢出3.避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，若在8位浮点机上作运算时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数算法2：先解出再利用其它措施：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094.减少步骤，减少运算次数，避免误差积累。例1：计算x255的值5.选用数值稳定性好的算法。1.5减小运算误差的原则数值稳定性定义：如果在执行算法的过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制（结果是可靠的），则该算法是数值稳定的，否则就是数值不稳定的。

在实际运算过程中，参与运算的各种数据一般都带有一定的误差。比如初值误差及计算过程中的舍入误差。这些误差即使很小，也会随着计算过程的进行不断传播（或积累）下去，对结果产生一定的影响。如果计算结果对初值误差不敏感，则认为算法是数值稳定的。算法数值稳定的一个必要条件是原始数据小的变化只会引起最后结果有小的变化。

误差的传播与积累例：蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题例：计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!考察第n步的误差造成这种情况的是不稳定的算法迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。