数字信号处理-第一章

数字信号处理

林伟铭

158607946151.最终成绩：平时30%，期末考试70%2.平时成绩获得方法（1）满考勤满作业得75~85分（2）缺勤缺作业一次减5分（3）课堂答题一次2.5分3.期末考试（1）作业（2）例题（3）其他考核须知（自愿，不论对错）课程意义1.通信专业学生为何要学数字信号处理？2.模拟通信到数字通信的转变 大哥大（1G），无线电爱好者，广播

2G3G4G，互联网，电脑3.使用数字代替波形（模拟波形就精确吗） 什么是数字信号？ 为何会更好？可控，可加密，可传数据，错误少速度就高课程意义第0章绪论1.数字信号处理的基本概念（1）信号：是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等；可以是一维也可以是多维。（2）连续信号：在某个时间区间，除有限个间断点外所有瞬时均有确定值。（3）模拟信号：是连续信号的特例。时间和函数值（幅度）均连续。（4）离散信号：时间上不连续，幅度连续。（5）数字信号：时间和幅度均不连续。（6）数字信号处理：通过计算机或专用处理设备，用数值计算（运算）方式去处理数字信号（序列），提取有用的信息，去除干扰和杂波的过程。凡是用数值计算方法对数字信号进行滤波、变换、增强、压缩、估计、识别等处理都是数字信号处理的研究对象。绪论思考数字信号处理可以处理离散信号吗？离散信号的值是无限的，计算机等设备无法读取。例如32位系统的值数量为232个。离散信号要经过量化转为数字信号才能被数字设备处理。本课程的内容都是对离散信号进行分析，因为只要对离散信号进行量化就可以转换为数字信号。2.数字信号处理系统组成数字信号处理系统3.数字信号处理的学科概貌经典数字信号处理现代数字信号处理的研究热点集中在：时变非线性系统、非平稳信号、非高斯信号的处理。处理方法的发展包括：自适应滤波、估值理论、信号建模、离散小波变换、高阶矩分析、盲处理、分形、混沌理论等等；同时，二维和多维信号处理也是最新发展的领域。4.数字信号处理的特点数字信号处理与传统的模拟信号处理方法相比较，具有以下特点：（1）精度高在模拟系统的电路中，元器件精度要达到10－3以上已经不容易了，而数字系统17位字长可以达到10－5的精度，这是很平常的。例如：基于离散傅里叶变换的数字式频谱分析仪，其幅值精度和频率分辨率均远远高于模拟频谱分析仪。（2）灵活性强数字信号处理采用了专用或通用的数字系统，其性能取决于运算程序和乘法器的各系数，这些均存储在数字系统中，只要改变运算程序或系数，即可改变系统的特性参数，比改变模拟系统方便得多。如：智能手机、软件无线电等。（3）可靠性高因为数字系统只有两个信号电平“0”、“l”，因而受周围环境温度以及噪声的影响较小，而模拟系统，各元器件都有一定的温度系数，且电平是连续变化的，易受温度、噪声、电磁感应等的影响。如果数字系统采用大规模集成电路实现，可靠性就更高。（4）容易大规模集成由于数字部件有高度规范性，便于大规模集成、大规模生产，对电路参数要求不严，故产品成品率高。尤其是对于低频信号，例如地震波分析，需要过滤几赫兹到几十赫兹信号，用模拟网络处理时，电感器、电容器的数值、体积和重量都非常大，性能亦不能达到要求、而数字信号处理系统在这个频率处却非常优越。（5）可时分复用利用数字信号处理器可以同时处理几个通道的信号。处理器运算速度越高，能处理的信道数目也就越多。（6）可获得高性能指标例如：有限长单位脉冲响应数字滤波器（FIR）可以实现严格的线性相位；在数字信号处理中可以将信号存储起来，用延迟的方法实现非因果系统，从而提高了系统的性能指标；数据压缩方法可以大大地减少信息传输中的信道容量。（7）二维与多维处理利用庞大的存储单元，可以存储一帧或数帧图像信号、流媒体信息，实现二维甚至多维信号处理，包括二维或多维滤波、二维及多维谱分析等。如：物联网的ID卡、二维码，图像处理的2D、3D、4D动画、电影技术等。（1）增加了系统的复杂性。它需要模拟接口以及比较复杂的数字系统。（2）应用的频率范围受到限制。主要是A/D转换的采样频率的限制。（3）系统的功率消耗比较大。数字信号处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体管，而模拟信号处理系统中大量使用的是电阻、电容、电感等无源器件，随着系统的复杂性增加,这一矛盾会更加突出。

（8）缺点5.数字信号处理的应用随着数字信号处理理论的发展和数字信号处理器（DSP）强大数据运算处理能力，数字信号处理技术已经广泛应用于电子信息领域，特别在通信、语音处理、网络、工业控制等领域应用非常广泛，概括起来有以下几个方面：（1）语音信号处理语音编码、语音合成、语音识别、语音增强、语音邮件、语音储存、IPAD等。（2）常用电器设备智能手机、数字音响、电视、可视电话、A/V设备、照（摄）像机、打印机、扫描仪、音乐合成、音调控制、玩具与游戏等。（3）仪器仪表数字滤波、频谱分析、函数发生、数据采集、地震处理等。（4）图像处理二维和三维图形处理、图像压缩与传输、多媒体、机器人视觉、动画、电子地图、图像识别、图像增强等。（5）工业控制自动控制、机器人控制、磁盘控制、在线监控等。（6）通信移动通信、无线电、传真、电视会议、数字蜂窝电话、数据加密、数据压缩、调制解调器、自适应设备、线路转发器、回波抵消、多路复用等。（7）军事系统故障检测、保密通信、雷达信号处理、声呐信号处理、遥感、遥测、卫星导航、全球定位系统、跳频通信、搜索和反搜索等。（8）医疗电子超声设备、诊断设备、病人监护、助听、心电图等。各种数字信息系统DigitalMediaProcessingWebpadTelematicsWirelessDevices:

802.11,Bluetooth,OthersEnhanced

GamingMilitaryandGovernmentCellular,SecureConnectivityIndustry-Specific

PDAsBiometricsMedicalDevices第1章离散时间信号与系统第1章离散时间信号与系统在用数值计算方法处理信号的过程中，通常信号都是离散时间信号并采用序列来表达，而运算加工这些序列的系统则称为离散时间系统。这些概念尽管已经在《信号与系统》的课程中介绍过，但它是进一步学习数字信号处理的基础，因此，有必要在进行简单回顾。1.1离散时间信号1.1.1序列的表示序列是时间上不连续的一串样本值的集合，记为{x(n)}；其中序号n是整数，而x(n)则是第n号样本值，大括号用来表示全部样本的集合。一个无限长复数值的序列{x(n)}={…，2+j3，0.8+j2，1-j5，4，0.3+j4，-j2.7，…}，n∈（-∞，∞）箭头标出了n=0的序号位置，即序列原点值x(0)＝1-j5几个常用的典型序列

（１）单位脉冲序列MATLAB生成该信号的代码如下：n=-30:30；%给出从-30到30共61个自然序号。x=[n==0]；%在原点处取得1。stem(n，x)；%绘出序列火柴杆状图。1/16/202325（２）单位阶跃序列MATLAB代码：n=1:40；%给出自然序号1到40。M=15；%延迟值。x=[(n-M)>=0]；%获得从M开始后的共25个1值行向量。stem(n，x)；%绘出序列图。（３）矩形序列显然：RN(n)=u(n)-u(n-N)。？R5(n)的序列图形是什么样的？（４）实指数序列当任意实数|a|<1，序列收敛，其总和为当|a|>1，x(n)序列发散；而a=1时，x(n)退化成单位阶跃u(n)；a=-1，x(n)成为正负1交替的序列。如何推导？(5)复指数序列复序列要用实部和虚部共同表示，也可以用幅度和相位来表示。图形表示则需要绘制两张平面图或者3坐标的立体图。【例1.1.1】绘制因果复序列x(n)=(0.732ej0.523n)u(n)=(0.732)n(cos0.523n+jsin0.523n)u(n)的两种表示方式的图形。解：用MATLAB绘图编程如下n=0：30；%绘制31个点因果序列x=(0.732.^n).*(exp(j*0.523*n))；%注意指数和乘运算符号Ax=abs（x）；%求出幅度，即复数模Bx=angle（x）；%求出相角，以rad为单位Cx=real（x）；%求出实部Dx=imag（x）；%求出虚部subplot（2，2，1）；%分成四张小图绘制stem（Ax）；ylabel（‘幅度’）；subplot（2，2，3）；小图编号为3的图纸激活。stem（Bx）；ylabel（‘相位’）；subplot（2，2，2）；stem（Cx）；ylabel（‘实部’）；subplot（2，2，4）；stem（Dx）；ylabel（‘虚部’）；程序运行结果如图1.1.3所示。使用极坐标显示n=0:30;x=(0.732.^n).*(exp(j*0.523*n));Ax=abs(x);Bx=angle(x);polar(Bx,Ax,'o-')（6）周期序列如果一个序列的数据变化规律呈现出不断重复的特征，那么我们称之为周期序列。记：如果一个序列满足：0≤n≤N－1，r是任意整数，N是任意正整数。我们称它是具有周期为N的周期序列。例如=｛…，1，3，6，9，7，4，1，3，6，9，7，4，1，3，6，…｝。（7）正弦序列x(n)=sin（nω0）式中：ω0是数字域角频率，单位是rad。序列是从某连续时间正弦波sin(2πf0t)经间隔为T的均匀采样，即令t=nT后获得，其中ω0=Ω0T=2πf0T=2πf0/fs，Ω0是模拟域角频率。正弦序列是不是一定是周期序列？序列x(n)是否为周期序列以及周期长度为多少，都取决于数字角频率ω0的值。

x(n)=sin（0.3n）是不是周期序列？x(n)=sin（0.3πn）是不是周期序列？【例1.1.2】绘制因果正弦序列的图形并指出它的周期。解：其MATLAB程序为n=0:60;%给出序号，准备绘制61个点的因果序列x=sin(0.12*pi*n);%ω0=0.12πstem(x);%绘制序列杆图ylabel('幅度');%标出纵轴名称根据若使得0.12πrN=2πi，该序列就具有周期性。选择r=1，i=3，N=50即能满足。当然，如果正弦序列sin(ω0n)的ω0不合适，那么有可能找不到一组整数r，i，N来满足周期定义式，比如ω0=0.3，序列就没有周期性。可见：周期性的正弦波经过采样后所形成的序列有可能是非周期的，它取决于采样频率的选择。m1.1.2序列的运算（1）序列的相加减z(n)=x(n)±y(n)

两个序列原点对齐，逐项对应相加减，形成新序列

（2）序列的相乘f(n)=x(n)y(n)

两个序列原点对齐，逐项对应相乘得到新序列（3）序列的移位y(n)=x(n-n0)（5）序列的能量平方可和序列绝对可和序列

有界序列（4）反折y(n)=x(-n)，序列对于n=0处序号反向倒转。

（7）序列的单位脉冲序列表示（6）实序列的偶部和奇部偶部关于原点偶对称性：奇部关于原点奇对称性：

1.2连续时间信号的采样

所谓采样就是对连续信号进行时间上的离散化。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，为了解这些性质，首先分析采样过程。采样器:一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒(采样周期)短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。

1.2.1连续信号的采样过程1/16/202343实际采样信号实际采样序列，Ts>>τ理想冲激采样信号连续时间信号采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为Ts、宽度为τ的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t)，则采样输出为

一般τ很小,τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。开关闭合时间τ→0时，为理想采样。特点：采样序列为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。这个冲激载波，则有

周期函数的傅里叶级数采样信号的频谱

结论：理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，重复周期为s(采样频率)。如果信号最高频谱超过s/2，那么在理想采样频谱中，各次调制频谱就会互相交叠，出现频谱的“混淆”现象。当出现频谱混淆后，一般就不可能无失真地滤出基带频谱，用基带滤波恢复出来的信号就要失真。奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。Ωs≥2Ωmax实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，通常为：

Ωs>(3～5)Ωmax。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于Ωs/2频率分量进入。1/16/2023491.2.2具有低通型频谱连续信号的采样

如果原信号是实带限的，且满足fs>2fmax时，基带频谱以及采样产生的各次调制谐波频谱将不会重叠。如果不满足fs>2fmax条件，将出现频谱混叠（aliasing）现象，也可以理解为假频，它改变了原基带频谱结构，从而无法恢复出原信号频谱Xa(jf)。图1.2.4理想采样信号的周期频谱与混叠现象fs>2fmax的情况原信号实带限频谱减小fs后不满足fs>2fmax的情况信号实带限频谱fs不变，但fmax增大后不满足fs>2fmax信号实带限频谱几个术语：（1）采样频率的一半称为折叠频率，为fo=0.5fs。（2）保证能够重新恢复出原信号的最低采样频率称为奈奎斯特（Nyquist）采样频率，为fN=2fmax。现在我们让采样信号通过一个理想低通滤波器H(jf)，如图所示。还原波形序列内插函数上式说明：通过对内插函数及其平移信号并经采样值xa(nTs)的加权进行累加，就能唯一地构造恢复出原连续信号xa(t)。该连续信号的值在采样时刻严格等于离散序列值，而在两样点之间，则是由全部采样值内插函数的波形延伸叠加构成的。图1.2.6（b）由采样信号的内插函数重构的连续信号图1.2.6（a）Sa(t)内插函数是否清楚了之前提出的几个问题？信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件1.2.3具有带通型频谱连续信号的采样

如果连续信号频谱如图所示带通型。它是由低通信号频谱经过高频载波调制后并经过一定处理形成的，通常上边频f2比带宽B=f2-f1大很多，有效频带中心记为fc，以及下边频f1=fc-0.5B。选择fs>2f2，可以进行无混叠不失真采样，但f2本来就很高，使得采样率fs可能高到无法实现的程度，即使能做到，成本也一定会高昂。采样频率fs可否合理的降低呢？降低到奈氏频率以下（称欠采样技术），而不会出现频谱混叠呢？图1.2.7带通型频谱B设原信号谱正频带P和负频带Q，有效带宽B=f2-f1，调整fs，使得重复频谱的正频带P和负频带Q恰好在坐标0点对接，并且在2fc-B的零幅度区里有m个重复周期，图中是m=4。显然，mfs=(2fc-B)。如果增大fs，图中的Q将向右同时P向左移动进而发生混叠，说明fs不能任意增大，必须小于这个上限。如果减小采样率fs，原谱不动，P将向右而Q向左移动而分开。继续减小fs到PQ又接在一起即最低采样率（当然无论何时都要满足fs>2B）情况，此时在2fc+B频带里有5个频谱周期，即(m+1)fs=2fc+B，fs不能再小了。总结以上分析，采样率fs应处于一定范围才能避免混叠：最大的m可由信号最高频率f2=fc+0.5B的2倍除以带宽B所得的整数值来计算。定义在可接受的m的值下，使得重复频谱在原点处正负频带对接时的采样频率，称为带通信号最佳采样率。m＝1时的最佳fs如图所示，但出现基带频谱倒置情况。m=1m＝2时的最佳fs更低，如图所示，而且基带频谱正常。前面分析可得：m偶整数时，基带频谱不会倒置；m奇整数时，基带频谱出现倒置。需要通过数字处理将其翻转过来解决。实现方法有：（1）把采样序列xa(n)与(-1)n相乘，这个正负1单位交替序列还写成(-1)n=cos(nπ)=ejπn。（2）在频域里表现为0~0.5fs频带绕0.25fs左右翻转，即直流DC（0Hz）频率倒置到±0.5fs。此外，如果原始谱是关于中心频率fc偶对称的话，那么采样频谱就不会存在倒置问题了。例题一模拟信号x(t)的带通频谱如下图，求最佳采样频率。1.3离散时间系统

将一个序列x(n)变换成另一个序列y(n)系统称为离散时间系统。记为1.3.1系统的线性、时不变性，稳定性与因果性

系统同时满足均匀性和可加性时，称该系统是线性系统。否则为非线性系统。均匀性也称比例性，是指当系统的输入变化a倍，其输出也相应变化a倍。可加性是指系统分别输入两个序列x1(n)和x2(n)，其各自对应的输出是y1(n)和y2(n)，那么，当混合输入x1(n)+x2(n)时，系统将会输出y1(n)+y2(n)。时不变系统是指系统的性能不会随时间发生改变。也就是无论何时输入信号，只要x(n)相同，系统输出也总是相同的y(n)，只不过是随着x(n)加到系统的先后，y(n)出现的时间不同而已。若，有成立，则称系统是时不变的。当系统输入是有界的，其输出也一定是有界的，这样的系统即为稳定系统。稳定系统的充分必要条件是其h(n)绝对可和，即:如果系统的输出y(n)只取决于当前以及以往的输入，称为因果系统。否则就是非因果系统。判断一个线性时不变系统是不是因果系统的充分必要条件是

通常把n<0时x(n)=0的序列统称为因果序列。尽管连续时间非因果系统是不可实现的。但数字信号处理中可以用一个带有延迟的因果系统来近似非因果系统，这是一种获得更接近于理想频率特性的方法。例题判断以下系统是否（1）线性的（2）因果的（3）时不变的（1）（2）（1）（3）（2）（3）1.3.2离散时间系统的差分方程描述对于线性时不变系统，可用常系数差分方程描述，它给出输入序列x(n)和输出序列y(n)的关系：需要注意的是：如果不加约束条件，满足差分方程式的序列x(n)与y(n)将不是唯一的。例题下面的离散系统，如何用常系数差分方程描述？1.3.3离散时间系统的状态方程描述

1.4离散时间系统的时域分析1.4.1离散线性时不变系统的单位脉冲响应系统在零状态下，因受δ(n)的激励而产生的响应称为单位样值响应，记为h(n)例题下面的离散系统的单位脉冲响应是什么？1.4.2线性卷积

一个线性时不变系统，它的零状态输出，可以通过系统的单位样值响应来求得。上式称为序列x(n)与h(n)的卷积和，亦称线性卷积。显然，卷积运算遵守交换律、分配律、结合律。【例1.4.1】计算两个矩形序列R4(n)和R5(n)的线性卷积。解：法1：根据线性卷积定义有当0≤n≤3时，当4≤n≤7时，即y(n)={1，2，3，4，4，3，2，1}，其余都为0。法2：图解计算过程，包括其中一个序列的左右翻转、对位乘并累加，右移1位后再做乘加运算等步骤。法3：可以用matlab卷积函数计算：y(n)=conv(a，b)；1.4.3离散时间系统的MATLAB分析

【例1.4.2】设离散系统由如下差分方程表示，试分别绘制系统的单位冲激响应h(n)和单位阶跃响应g(n)，以及输入为矩