第一章-逻辑代数基础

第一章逻辑代数基础Chapter1LogicAlgebraBasic本章主要内容

第一节数制与码制

第二节逻辑代数的基本概念与运算

第三节逻辑函数的公式化简法

第四节逻辑函数的卡诺图化简法

第五节具有无关项的逻辑函数及其化简§1.1数制与码制§1.1.1数字量与模拟量数字量——在时间和数量上的变化都离散的物理量。数字信号——表示数字量的信号。数字电路——工作在数字信号下的电路。

如：时钟、自动生产线上送出零件量的检测等。模拟量——在时间或数值上连续变化的物理量。模拟信号——表示模拟量的信号。模拟电路——工作在模拟信号下的电路。

如：温度、压力变化。

§1.1.2数制及其相互间的转换一、数制所谓数制，是指多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则。数字电路中经常使用的数制有：十进制、二进制、八进制、十六进制等。表1-1-1即列出了各进制特点的对照情况。数制基数数码计数规则一般表达式计算机中英文表示十进制100~9逢十进一D二进制20、1逢二进一B八进制80~7逢八进一O十六进制160~9、ABCDEF逢十六进一HN进制N0~（N-1）逢N进一表1-1-1各进制特点对照表例：（278.94)10

=(101.11)2

=(372.01)8

=(2A.7F)16

=二、数制转换1、各种进制转换为十进制：即“按位加权和”

2、十进制转换为其它进制（1）十进制二进制①整数部分的转换：（除基取余，逆序排列）例：

（41）10=（）2②小数部分的转换：（乘基取整，顺序排列）例：（0.39)10=()2

+e（2）十进制任意进制将十进制转换为N进制的方法：整数部分采用基数(N)除法，即除基（N）取余，逆序排列；小数部分采用基数（N）乘法，即乘基（N）取整，顺序排列。例：将（153）10转换为八进制数例：将（0.8125）10转换为八进制数3、二进制与八进制之间的转换（1）二进制八进制

把二进制数从小数点开始分别向右和向左分成三位一组，每组便是一位八进制；若不能正常构成三位一组，则在二进制整数部分高位添零或在小数点低位添零来补足三位一组。例：（10011101.01）2=（010

011

101.010）2

=（235.2）8

（2）八进制二进制

将各八进制数按位展成三位二进制数即可。例：（753.4）8=（111

101

011.100）2

=（111101011.1）24、二进制与十六进制之间的转换（1）二进制十六进制

把二进制数从小数点开始分别向右和向左分成四位一组，每组便是一位十六进制数；若不能正常构成四位一组，则在二进制整数部分高位添零或在小数点低位添零来补足四位一组。例：（1011101000.011）2=（0010

1110

1000.0110）2

=（2E8.6）16

（2）十六进制二进制

将各十六进制数按位展成四位二进制数即可。例：（3FD.B）16=（0011

1111

1101.1011）2

=（1111111101.1011）25、八进制与十六进制之间的转换通过二进制作中介。即：八进制二进制十六进制十六进制二进制八进制三、二进制数的算术运算及正负数表示法（一）在数字电路中，1位二进制数码的0和1不仅可以表示数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态。当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间的数值运算称为算术运算；当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照某种因果关系进行所谓的逻辑运算。例：两个二进制数1001和0101的算术运算有：0（二）二进制正负数的表示法在数字电路和数字电子计算机中，二进制数的正、负号也用0和1表示。在数字电路中，二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三种表示法。

对正数而言，三种表示法相同，即符号位为0，位于首位，随后是二进制数的绝对值（原码）。例：（+45）10=（00101101）2

而对负数而言，三种表示法是不一样的。①原码表示法：符号位“1”+原码例：[（-45）10]原=（10101101）2②反码表示法：符号位“1”+反码例：[（-45)10]反=(11010010)2

③补码表示法：符号位“1”+反码+“1”例：[（-45)10]补=(11010011)2

二进制数N的基数的补码定义为：其中，n为二进制数N的整数部分的位数。例：(1010)2,C=24-1010=10000-1010=0110(1010.101)2,C=24-1010.101=10000.000-1010.101=0101.011由此可见，二进制数的补码可通过将原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加“1”得到，也即：补码表示的负数相当于对其对应的正数（连同符号位一起）按位求反，再在最低位加“1”。

几个特例：（-8）10=（1000）补（-0）10=（1000）原=（1111）反=（0000）补（+0）10=（0000）原=（0000）反=（0000）补

思考：二进制反码和补码运算有哪些性质？

如：

[[X]反]反＝[X]原[[X]补]补＝[X]原[X]反+[Y]反=[X+Y]反[X]补+[Y]补=[X+Y]补（三）补码的算术运算在数字电路中，用原码运算求两个正数M和N的差值M-N时，首先要对减数和被减数进行比较，然后由大数减去小数，最后决定差值的符号，完成这个运算，电路复杂，速度慢。所以常用补码来实现减法运算。这样，即将减法运算转化成了加法运算。此外，乘法运算可用加法和移位两种操作实现，而除法运算可用减法加移位操作实现。因此，二进制的加、减、乘、除运算都可以用加法运算电路完成。

例：（0011）2-（1010）2=？（四）二进制正负数的定点和浮点表示法任何数制的数N，均可以表示为：N=RE×M。

定点表示法：即小数点的位置在数中是固定不变的。在定点运算的情况下，以最高位作为符号位，正数为0，负数为1，定点表示可分为整数定点和小数定点。例：阶码E＝0时，8位定点二进制数N=+101=?N=-0.01101=?

浮点表示法：即小数点的位置可以变化。例：IEEE754中32位浮点数表示为：

例：N=+0.011B=0.110B×2-1=0.0011B×21=?EfE(8)S(1)M(23)§1.1.3码制不同数码不仅可以表示数量的不同大小，而且还能表示不同的事物。

用文字、符号或数码表示特定对象的过程称为编码。数字电路中常用的是二进制编码。N位二进制代码有2N个状态，可以表示2N个对象。下面介绍几种数字电路中常用的二进制代码。

一、二-十进制码（BCD码）BCD码是一种至少用四位二进制编码表示一位十进制数的代码。BCD码仅表示十进制数的十个数码，即0~9，所以有些码是禁用码。表1-1-2几种常见的BCD代码

编码种类十进制数

二进制8421-BCD2421-BCD余3码余3循环码012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001011110011011110111100110100010101100111100010011010101111000010011001110101010011001101111111101010权

8421

2421

非恒权码

变权码

8421-BCD+“0011”相邻两码只有一位不同二、格雷码格雷码是一种无权码，其特点是任意两个相邻码组之间只有一位码元不同。典型的n位格雷码中，0和最大数（2n-1）之间也只有一位码元不同。因此它是一种循环码。表1-1-3示出了典型的四位格雷码。格雷码在传输过程中引起的误差较小，因为相邻码组中仅有一位码元不同，这样可减小逻辑上的差错，避免可能存在的瞬间模糊状态，所以它是错误最小化代码。表1-1-3格雷码与二进制码三、误差检验码由于存在干扰，二进制信息在传输过程中会出现错误。为发现并纠正错误，提高数字设备的抗干扰能力，必须使代码具有发现错误并纠正的能力，这种代码称为误差检验码。最常用的误差检验码为奇偶校验码。它的编码方法是在信息码组外增加一位监督码元，增加监督码元后，使得整个码组中“1”码元的数目为奇数或为偶数。若为奇数，称为奇校验码；若为偶，称为偶校验码。以四位二进制代码为例，采用奇偶校验码时，其编码示于表1-1-4中。表1-1-4奇偶校验码四、字符、数字代码字符、数字代码用来表示文字、符号和数码。它们是一种特殊的二进制代码，被广泛应用于计算机和数字通讯中。常见的有BAUDOT和ASCII码。其中ASCII码是美国信息交换标准码（AmericanNationalStandardCodeforInformationInterchange）。ASCII码一般为八位码，其中第八位是奇偶校验位，其它7位表示信息。表1-1-5列出了七位ASCII码表。表1-1-5七位ASCII码表§1.2逻辑代数基本概念和运算规则

逻辑代数是英国数学家GeogeBoole于1847年提出的，所以又称为布尔代数，它是分析和设计逻辑电路的数学工具。§1.2.1逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中的变量称为逻辑变量，通常用字母A、B、C等表示。逻辑变量的取值只有两种：真（“1”）和假（“0”）。这里的“1”和“0”并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。若以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。因此，输出与输入之间乃是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作Y=F（A，B，C…)。例：如图1.2.1所示为一个举重裁判电路图1.2.1举重裁判电路§1.2.2逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。它们各自的含义如图1.2.2中（a）、（b）、（c）所示。若把开关闭合作为条件，把灯亮作为结果，那么图中的三个电路代表了三种不同的因果关系：图1.2.2与、或、非说明电路（a）逻辑与，也叫逻辑相乘：表示只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才会发生。记作：Y=A·B或Y=AB。其逻辑真值表如表1-2-1。表1-2-1与逻辑真值表（b）逻辑或，也叫逻辑相加：表示决定事物结果的条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。记作：Y=A+B。其逻辑真值表如表1-2-2。表1-2-2或逻辑真值表（c）逻辑非，也叫逻辑求反：表示只要条件具备了，结果就不会发生，否则结果一定发生。记做：。其逻辑真值表如表1-2-3。表1-2-3非逻辑真值表数字电路中，把实现与逻辑运算的单元电路叫做“与门”；把实现或逻辑运算的单元电路叫做“或门”；把实现非逻辑运算的单元电路叫做“非门”（或反相器）。与、或、非逻辑运算还可用图1.2.3所示的图形符号表示：图1.2.3与、或、非的图形符号实际的逻辑问题基本上都可以用与、或、非的组合来实现。最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、同或、异或等。图1.2.4示出了它们的逻辑符号与运算符号。图1.2.4复合逻辑的图形符号和运算符号§1.2.3逻辑函数的描述（即表示方法）描述逻辑函数的方法有以下六种：一、逻辑表达式（函数式）用与、或、非等逻辑运算表示逻辑关系的代数式叫逻辑函数表达式或简称函数式。例：Y=AB+CD二、真值表

将输入变量所有的取值对应的输出值找出来，列成表格，即可得真值表。列真值表时，需注意以下几点：1、所有的输入的组合不可遗漏，也不可重复；输入组合最好按二进制数递增的顺序排列（完整性）。2、同一逻辑函数的真值表具有唯一性。

例：请列出举重裁判电路Y=A（B+C）的真值表。例：已知某逻辑函数的真值表如下所示，试写出其逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011101101001从真值表写出逻辑函数的一般方法：1、找出真值表中使逻辑函数Y＝1的那些输入变量取值的组合；2、每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量；3、将这些乘积项相加，即可得逻辑函数式。三、逻辑电路图用代表逻辑运算的逻辑门符号所构成的逻辑关系图形，叫逻辑电路图，简称逻辑图。例：请画出的逻辑电路图。

四、卡诺图后述。五、波形图（时序图）指各个逻辑变量的逻辑值随时间变化的规律图。

例：试画出举重裁判电路的波形图。六、文字描述逻辑函数的各种表示方法可以相互转换。

一、逻辑代数的公理§1.2.4逻辑代数的基本公式和常用公式二、逻辑代数的基本公式（定律）（1）交换律：A·B=B·A；A+B=B+A（2）结合律：A·（B·C）=（A·B）·C；A+（B+C）=（A+B）+C（3）分配律：A·（B+C）=A·B+A·C；A+B·C=（A+B）·（A+C）（4）01定律：1·A=A；0+A=A0·A=0；1+A=1（5）互补律：（6）重叠律：A·A=A；A+A=A（7）反演律（De.Morgan定理)：

（8）还原律：注：1、若两个逻辑函数具有完全相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。证明以上定律的基本方法均采用真值表法。2、逻辑代数与普通代数是不同的。

例：三、逻辑代数的常用公式（吸收律）四、异或运算公式1、异或定义：A⊙B=可见：A⊙B=2、异或运算的公式：（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：

在多变量异或运算中，若变量为1的个数为奇数，异或运算结果为1，若变量为1的个数为偶数，异或运算结果为0，与变量为0的个数无关。即:§1.2.5逻辑代数的三个基本定律一、代入定理所谓代入定理，是指在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。例：用代入定理证明De.Morgan定理也适用于多变量的情况。二、反演定理所谓反演定理，是指对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是。注：使用反演定理时需注意以下两个规则：1、仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。2、不属于单个变量上的反号应保留不变。使用反演定理求，有时比用基本公式和常用公式简单得多。例：已知Y=A（B+C）+CD，求

又例：三、对偶定理

若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。所谓对偶式，即：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则可得到一个新的逻辑式Y′，Y′即为Y的对偶式，或者Y与Y′互为对偶式。证明两个逻辑式相等，有时可通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下证明其对偶式相等更加容易。

例：证明该基本公式成立：

又例：

逻辑代数基本定律总结表定律名称公式0－1律自等律重叠律互补律交换律结合律分配律还原律反演律吸收律（一）吸收率（二）吸收率（三）吸收率（四）§1.3逻辑函数的公式化简法一、逻辑函数的最简形式

例：逻辑式越是简单，它所表示的逻辑关系越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。判别与或表达式是否最简的条件是：1、乘积项（与项）最少；2、每个乘积项里的因子最少。化简逻辑函数的目的：消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。（1）并项法利用公式可将两项合并为一项.例：试用并项法化简下列逻辑函数

（2）吸收法利用公式A+AB=A可将AB项消去。例：试用吸收法化简下列逻辑函数二、常用的公式化简方法（3）消项法利用公式将BC或BCD…消去。例：用消项法化简下列逻辑函数（4）消因子法利用公式例：试用消因子法化简下列逻辑函数（5）配项法1、根据基本公式A+A=A可添加重复项进行化简。例：试化简逻辑函数2、根据基本公式中的可以在函数式中的某一项上乘以进行化简。例：试化简逻辑函数注：公式化简的结果不一定惟一。在化简复杂逻辑时，往往将以上方法综合在一起灵活使用。例：试化简下列逻辑函数用门电路实现逻辑函数时，需要使用与门、或门、非门、与或非门等器件，究竟将函数式变换成什么形式，要视所用门电路的功能而定。

例：将逻辑函数化为与非－与非形式。例：试用与非门和反相器画出函数Y=AB+BC+AC+D的逻辑图。注：将最简与－或式直接变换为其他类型的逻辑式时，得到的结果不一定也是最简的。三、指定器件的逻辑函数化简§1.4.1逻辑函数的两种标准形式任何一个逻辑函数均可化成“最小项之和”与“最大项之积”这两种标准形式。一、最小项和最大项定义1、最小项在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。例：表1-4-1列出了三变量的最小项编号表。§1.4逻辑函数的卡诺图化简法表1-4-1三变量最小项编号表从最小项的定义出发可以证明它具有如下的重要性质：（1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1；（2）全体最小项之和为1；（3）某一最小项若不包含在F中，则必在中；（4）任意两个最小项的乘积为0；（5）具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。2、最大项在n变量函数中，若M为n个变量之和，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。表1-4-2三变量最大项编号表从最大项的定义出发可以证明它具有如下的重要性质：（1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最大项的值为0；（2）全体最大项之积为0；（3）某一最大项若不包含在F中，则必在中；（4）任意两个最大项之和为1；（5）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。由上面给出的最大项和最小项编号表可知，最大项与最小项之间存在如下关系：二、逻辑函数的“最小项之和”形式——标准“与或”表达式利用基本公式，可将任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。这种标准形式在逻辑函数的化简以及计算机辅助分析和设计中得到了广泛的应用。

例：试将逻辑函数展为最小项之和的形式。三、逻辑函数的“最大项之积”形式——标准“或与”表达式证明：任何一个逻辑函数都可以化成最大项之积的标准形式。

例：试将逻辑函数化为最大项之积的标准形式。一、逻辑函数的卡诺图表示法（一）卡诺图（KarnaughDiagram)卡诺图是由美国工程师卡诺首先提出的一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。在这个方格图中，每个小方格代表逻辑函数的一个最小项，而且几何相邻的小方格具有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同。二、三、四、五变量卡诺图为：§1.4.2逻辑函数的卡诺图化简二变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图五变量卡诺图（二）卡诺图的特点：1、卡诺图中的小方格数等于最小项总数，若逻辑函数的变量数为n，则小方格数为个。2、卡诺图行列两侧标注的0和1表示使对应方格内最小项为1的变量取值。同时，这些0和1组成的二进制数大小就是对应最小项的编号。此外，在卡诺图中，几何相邻的最小项具有逻辑相邻性，因此，变量的取值不能按照二进制数的顺序排列，必须按循环码排列。3、卡诺图是一个上下、左右闭合的图形，即不但紧挨着的方格是相邻的，而且上下、左右相对应的方格也是相邻的。1、已知函数式化成最小项之和形式卡诺图中对应最小项格填入“1”得到卡诺图。2、已知真值表每组变量（即最小项）所对应的函数值填入卡诺图中相应方格化简得到函数式。（三）用卡诺图表示逻辑函数例：试用卡诺图表示逻辑函数例：已知逻辑函数的卡诺图如图所示，试写出该函数的逻辑函数式。二、用卡诺图化简逻辑函数（一）用卡诺图化简逻辑函数的依据（基本性质）基本原理：各几何相邻方格的逻辑相邻性。性质1：卡诺图中两个相邻“1”格的最小项可以合并成一个与项，并消去一个变量。BC

A0

1

0001111001011010例：性质2：卡诺图中四个相邻“1”格的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。例：性质3：卡诺图中八个相邻“1”格的最小项可以合并成一个与项，并消去三个变量。例：

推论：在n个变量的卡诺图中，若有个“1”格相邻（k=0，1，2，3，…，n），它们可以圈在一起加以合并，合并时可以消去k个不同的变量，简化为一个具有（n-k）个变量的与项。若k=n，则合并时可消去全部变量，结果为1。（二）用卡诺图求最简与或表达式步骤：