二阶线性偏微分方程的分类

二阶线性偏微分方程的分类第一页，共二十六页，2022年，8月28日

在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中为常数，且设7.1数学物理方程的分类第二页，共二十六页，2022年，8月28日则当

时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.

下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为第三页，共二十六页，2022年，8月28日（1.1）第四页，共二十六页，2022年，8月28日定理2.1

如果是方程(2.2)的一般积分，则是方程第五页，共二十六页，2022年，8月28日(2.3)的一个特解．在具体求解方程(2.1)时，需要分三种情况讨论判别式1.当判别式以求得两个实函数解

时，从方程(2.1)可第六页，共二十六页，2022年，8月28日也就是说，偏微分方程(2.1)有两条实的特征线．于是，令即可使得．同时，根据(2.2)式，就可以断定．所以，方程(2.1)即为(2.4)第七页，共二十六页，2022年，8月28日或者进一步作变换于是有所以第八页，共二十六页，2022年，8月28日又可以进一步将方程(2.4)化为

这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方程就属于此类型．2．当判别式时：这时方程(2.2)一定有重根第九页，共二十六页，2022年，8月28日因而只能求得一个解，例如，，特征线为

一条实特征线．作变换就可以使由(2.2)式可以得出，一定有，故可推出．这样就可以任意选取另一个变换，只要它和彼此独立，即雅可比行列式第十页，共二十六页，2022年，8月28日即可．这样，方程(2.1)就化为

此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于这种类型．第十一页，共二十六页，2022年，8月28日3.当判别式面的讨论，只不过得到的时：这时，可以重复上和是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族．于是是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量第十二页，共二十六页，2022年，8月28日于是所以

方程(2.1)又可以进一步化为第十三页，共二十六页，2022年，8月28日

这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都属于这种类型．

综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式

即可.

第十四页，共二十六页，2022年，8月28日7.2二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程(2.1)若判别式为，则二阶线性偏微分方程分为三类：第十五页，共二十六页，2022年，8月28日时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程

因为双曲型方程对应的判别式所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，第十六页，共二十六页，2022年，8月28日设特征方程的解为令(2.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式第十七页，共二十六页，2022年，8月28日(2.3)

上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量代换，令或则偏微分方程又变为第十八页，共二十六页，2022年，8月28日(2.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如与是两个不同的函数。

第十九页，共二十六页，2022年，8月28日因为抛物型偏微分方程的判别式线是一族实函数曲线．，所以特征曲其特征方程的解为(2.5)因此令进行自变量变换，则原偏微分方程变为(2.6)

2．抛物型偏微分方程上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．第二十页，共二十六页，2022年，8月28日3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是一组共轭复变函数族．其特征方程的解为(2.7)第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日(2.8)作自变量变换，则偏微分方程变为(2.9)上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．若令第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日7.3二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简

如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型

对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日注：上式中用小写字母代表常系数，以便与我们不妨令大写字母代表某函数区别开来,例如．为了化简，从而有(3.1)(3.2)第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日其中