高三数学 专题4 三角变换与解三角形课件 理

专题四三角变换与解三角形三角变换与解三角形主干知识梳理热点

分类突破真题与押题31.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．考情解读主干知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一三角变换热点二解三角形热点三正、余弦定理的实际应用热点分类突破热点一三角变换思维启迪

利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋

π)进行比较.答案C思维启迪

先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系.即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，答案B(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.思维升华变式训练1设函数f(x)＝cos(2x＋

)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；又θ是第二象限角，热点二解三角形例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sinA，

＝0.(1)求边c的大小；思维启迪

将

＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cosC，进而求c.∴ccosB＋2acosC＋bcosC＝0，∴sinCcosB＋sinBcosC＋2sinAcosC＝0，∴sinA＋2sinAcosC＝0，∵sinA≠0，(2)求△ABC面积的最大值.思维启迪

只需求ab的最大值，可利用cosC＝

和基本不等式求解.∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破.几种常见变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接圆的半径；(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC.思维升华变式训练2

答案A解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①由①②得ab＝6.答案C例3

(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一

种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA＝

，cosC＝

.热点三正、余弦定理的实际应用(1)求索道AB的长；思维启迪

直接求sinB，利用正弦定理求AB.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC所以索道AB的长为1040m.(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？思维启迪

利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数.解假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在

(单位：m/min)范围内.求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答.思维升华变式训练3如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，

≈2.45)解过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝45°，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形.在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°，因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，1.求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心.(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”.(3)再次观察代数式的结构特点.本讲规律总结2.解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a＝2RsinA，sinA＝

(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcosC等，灵活根据条件求解三角形中的边与角.(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sinC，sin＝cos等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟12真题感悟用降幂公式化简得：4sin2α＝－3cos2α，答案C真题感悟212.(2014·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋

sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.真题感悟21真题感悟21押题精练12押题精练12押题精练12∵sinC≠0，∴1＋cos(A＋B)＝1，cos(A＋B)＝0.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝

，即△ABC是以角C为直角的直角三角形.押题精练12其值不确定，故③不正确；押题精练12∴cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，故④正确.答案D押题精练122.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cosC)，且q∥p.(1)求sinA的值；解∵q＝(