数学奥赛试卷一及答案

-.z.数学奥赛试卷一一．选择题〔每题5分，共50分〕1．假设为三个集合，，则一定有………〔〕A．B．C．D．2．定义运算，则函数的最大值为………〔〕A．B．C．D．3．椭圆的中心为原点,右焦点为，假设在直线上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆的离心率的取值范围是……〔〕A．B．C．D．4．为单位向量,则"对任意的都有〞是"〞的…〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．是函数图像上不同的两点，假设的中点落在轴上，则的取值范围为…………………〔〕A．B．C．D．6．在中，角所对的边分别为．假设，，过作的垂线，垂足为，设，则……………………〔〕A．B．C．D．7．平面上三点，〔，〕．假设点满足，且．则这样的三角形的个数为…〔〕A．2B．6C．12D．168．如果从数中，按由小到大的顺序取出，使同时满足：，，则所有符合上述要求的不同取法有………………〔〕A．B．C．D．9．函数和()．假设方程的两实根和满足.则当时，以下不等式成立的是……………〔〕A．B．C．D．10．是正数，且，则的最小值为…………〔〕A．B．C．D．二．填空题〔每题7分，共49分〕11．函数在区间上的值域是，则点所在轨迹的长度为．12．实数满足：，且的最大值为，则实数．13．在正方体中，过的直线与所成角都等于，则的取值范围为．14．为数列前项和，假设且对所有的〔〕都有．则．15．中心在原点的正方形，四个顶点都在函数图象上，且其中的一个顶点坐标为，则函数的单调递增区间为．16．在等差数列则最大值是．17．，且，则．三．解答题〔每题17分，共51分〕18．为数列的前项和，且满足：．〔Ⅰ〕求证：数列为等差数列；〔Ⅱ〕假设存在不小于2的正整数满足，求数列的首项所能取值的集合．19．椭圆：，为椭圆的左右顶点，为椭圆的上下顶点．〔Ⅰ〕设点，假设当且仅当椭圆上的点在椭圆的顶点时，取得最大值与最小值，求的取值范围；〔Ⅱ〕假设椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，且与直线相交于，两点〔不是椭圆的左右顶点〕，并满足．试研究：直线是否过定点？假设过定点，请求出定点坐标，假设不过定点，请说明理由．20．集合．其中为正常数．〔Ⅰ〕设，求的取值范围．〔Ⅱ〕当时不等式对任意是否恒成立？说明理由；〔Ⅲ〕求使不等式对任意恒成立的的范围．数学奥赛试卷一答案一选择题〔每题5分，共50分〕DCCBDABACD10解：由平均值不等式及题设条件知，即，……eq\o\ac(○,1)当且仅当时取等号．这时由eq\o\ac(○,1)便得，…………eq\o\ac(○,2)又由条件和柯西不等式可得，……eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,3)当且仅当时取等号，结合条件便知此时．由eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)便得．当时，取最小值25．二填空题〔每题7分，共49分〕11．12．13．14．15．和16．17．三解答题〔每题17分，共51分〕18〔Ⅰ〕解答：当时显然成立；当时，有与式相减得：，即，……4分故数列构成首项为，公差为2的等差数列．………………8分〔Ⅱ〕把代入式得即，即………………12分又代入上式得：．……………14分因为为不小于2的正整数，所以的取值集合为或写为．……………17分19〔Ⅰ〕设.…………3分对称轴方程，由题意或或.………6分∴或或,∴.……8分〔Ⅱ〕由与〔Ⅰ〕得：，，，，．椭圆的标准方程为．…………………10分设，，联立得，………………12分又，因为椭圆的右顶点为，，即，，，．………14分解得：，，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与矛盾；………15分当时，的方程为，直线过定点．………………17分20〔Ⅰ〕，当且仅当时等号成立，故的取值范围为．………4分〔Ⅱ〕变形，得.……………6分由，又，，∴eq\a()在上是增函数，所以．即当时不等式成立．………10分〔Ⅲ〕令，则，即求使对恒成立的的范围．…………12分由〔II〕知