模态分析的理论基础201325

模态分析理论基础陕西重型汽车有限公司汽车工程研究院试验中心运伟国

添加标题1添加标题2添加标题3添加标题4机械振动的基本概念1模态分析的基本概念2模态分析的理论基础3模态试验研究4概要一、机械振动的基本概念

1、什么是振动：

物体在一固定位置附近的往复运动，称为机械振动。

广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。振动的概念任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。2、振动的分类按照振动系统的自由度数分类单自由度系统振动：在《机械设计基础》书中有对自由度详细的解释二自由度系统振动：多自由度系统振动：按振动系统所受的激励类型分类自由振动——系统受初始干扰或原有的外激励取消后产生的振动；强迫振动——系统在外激励力作用下产生的振动；自激振动——系统在输入和输出之间具有反馈特性并有能源补充而产生的振动。按系统的响应（振动规律）分类简谐振动—能用一项时间的正弦或余弦函数表示系统响应的振动；周期振动—能用时间的周期函数表示系统响应的振动；瞬态振动—只能用时间的非周期衰减函数表示系统响应的振动；随机振动—不能用简单函数或函数的组合表达运动规律，而只能用统计方法表示系统响应的振动。《随机振动》吴业森按描述系统的微分方程分类线性系统——描述系统的微分方程为线性微分方程非线性系统——描述系统的微分方程为非线性微分方程；模态分析研究的是：

线性定常稳态振动系统线性：系统的响应对激励有叠加性，即：定常：系统的动态特性（质量、刚度、阻尼）不随时间而变化。稳态：系统对有限的激励将产生有限的响应。振动的影响工程中的振动问题＊产生的后果：灾难性事故、疲劳断裂、损坏、噪声动力学与静力学的关系静力学与动力学都属于工程力学的范畴。我国目前对机械结构的设计主要停留在功能、静力学设计，动力学的设计还在探索中。静力学：胡克定律F=k×x动力学：牛顿第二定律F=m×a区别：时间==频率（结构对输入响应的快、满）一般机械的振动问题1、已知激励与振动结构，求结构的响应

根据已知的载荷条件，对振动结构进行简化得到可以求解的数学模型，通过一定的数学方法求解出振动结构上关心点的位移、应力等。2、已知激励与响应，求系统的参数

参数识别问题

对于线性定常系统系统而言，激励、系统及输出之间存在确定的关系3、已知系统与响应，求输入

例如飞机与船舶

一般地，以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析过程。模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型及非参数模型的关系，并通过一定的手段决定这些系统模型的一门学科。二、什么是模态分析模态分析的经典定义：将线性定常系统的振动微分方程组中的物理坐标变为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态阵型；模态分析的最终目标：识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析，振动故障的诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。物理参数模型模态参数模型非参数模型根据模态分析的手段和方法不同，模态分析分为理论模态分析和实验模态分析理论模态分析试验模态分析非参数模型模态参数模型物理参数模型计算模态分析实际上是一种理论建模过程，主要运用有限元方法对振动结构进行离散，建立系统特征值的数学模型，用各种近似方法求解系统特征值和特征矢量，由于对阻尼难以准确的处理，通常对于一些小阻尼系统的阻尼通常忽略不计模态参数识别是试验模态分析的核心，常用的方法是基于最小二乘法等曲线拟合法，各公司有自己不同的算法，例如：LMS公司的polymax方法，并有自己的专利。三、模态分析的理论基础单自由度系统的振动根据牛顿第二定律：对于自由振动，上式可以写成其解的形式为（1）（2）

对（1）式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，则可以得到：对于自由振动而言：（3）（4）由上式可以解得s的两个根为：（5）式中为无阻尼系统的固有频率

根据系统阻尼比的大小，系统运动分为三种情况：过阻尼系统，系统不产生振动；

临界阻尼系统，无振动发生；

欠阻尼系统，系统产生振动；欠阻尼系统是我们主要研究的系统，在机械振动系统中较为常见频响函数：（3）式中的具有刚度特性，称为系统的动刚度，在物理上它具有阻止系统振动的性质，又称为系统的机械阻抗，其倒数称为导纳，又称为系统的传递函数，表示成：（6）将上式转化到傅氏域中，即，得到系统的频率响应函数：（7）系统的阻抗有三部分组成：质量阻抗：

阻尼阻抗：

刚度阻抗：

传递函数H(s)是在复数域中描述和考察系统的特性，与在时域中用微分方程来描述和考察系统的特性相比有许多优点。频率响应函数是在频域中描述和考察系统特性。与传递函数相比，频率响应函数易通过试验来建立，且其物理概念清楚，利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。在系统传递函数H(s)已经知道的情况下，令H(s)中s的实部为零，即s=jω便可以求得频率响应函数H(ω)。

传递函数H(s)与频率响应函数的关系单自由度系统频响函数的特性曲线：当系统的频响函数幅值接近于弹簧元件的导纳，作用在系统上的外力主要靠弹簧力来平衡，系统的总刚度接近于弹簧的静刚度。当系统的频响函数幅值达到极大值，其数值取决于阻尼比的大小，且与其成反比，此时系统处于共振状态，系统的惯性力与弹簧力相平衡，外界力与阻尼力相平衡；当此时系统的外界力由惯性力来平衡；二自由度系统的振动二自由度系统矩阵和向量表示（1）对于二自由度无阻尼振动系统而言：对于（1）式两边进行傅里叶变换，得到

（2）其阻抗矩阵为（3）系统的频率响应函数为（4）因此系统的频响函数矩阵为可见频响函数矩阵为2*2阶矩阵，可以写成下面讨论频响函数的幅频特性,取原点频响函数

（1）当时，可以看到，以零阶等效刚度线作为起始渐近线（2）当时，，系统进入共振状态，响应频率称为第一阶共振频率，在共振频率处，满足以下关系式第一阶等效质量（3）当时，，此时频率称为反共振频率，系统处于反共振状态，质量m1的振幅为零，而m2的振幅不为零，系统的反共振现象为系统的局部现象，而共振为系统的总体现象，因为系统共振时，系统中个点的振幅均达到极大值。反共振时第一阶等效刚度（4）当时，此时系统进入第二阶共振状态，相应的频率为第二阶共振频率，满足下式第二阶等效质量（5）当时下降最后以第二阶等效质量线为渐近线并趋于零。对于有阻尼的系统，的幅频曲线如图中的虚线所示，显然在共振频率处幅值不为无穷大，其值取决于阻尼的大小。以上分析可以引申到多自由系统，对于N自由度的约束系统则有N个共振频率，有（N-1）个反共振频率。对于原点频响函数而言，各阶共振、反共振交替出现，即在每一个共振之后一定出现反共振。然而对于跨点频响函数而言，则无此规律，一般讲，两个距离远的跨点出现反共振的机会比较近跨点的少。系统的物理坐标描述的运动方程多自由度系统的振动与模态参数我们以N个自由度的比例阻尼系统作为对象加以讨论，其结果可以很方便的推广到其他阻尼系统。

如右图所示为一个多自由度的线性定常系统，其运动微分方程为：（1）式中M、C、K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵，均为（N*N）阶矩阵。X、F分别为系统的位移相应向量及激励力向量对于多自由度线性微分方程求解难度较大。所以能否将上述耦合方程变成非耦合的、独立的微分方程组，就是模态分析的所要解决的根本问题。

模态分析的方法是以无阻尼系统的各阶振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各个坐标独立的微分方程组，从而求出系统的各阶模态参数。将(1)式两边进行拉式变换，可得:（2）(2)式亦可写成:（3）（4）位移阻抗矩阵的逆矩阵为传递函数矩阵：（5）对于线性时不变系统，其极点在复平面的左半平面，将s换成jw，便得到傅氏域中的频响函数矩阵：（6）（7）根据振动理论：线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各阶模态响应的线性组合。则对l点的响应可以表示为：（8）式中：为第l个测点，第r阶模态的振型系数.由N个测点的振型系数所组成的列向量为（9）式，称为第r阶模态向量，他反映该阶模态的振动形状（9）由各阶模态模态向量组成的矩阵称为模态矩阵，记为：（10）由(2)、(10)可得（11）

为第r阶模态坐标，可理解为各阶模态对响应的贡献量，一般低阶模态比高阶模态有较大的加权系数。1.无阻尼自由振动系统（11）式变成对于第r阶模态对上式左边乘以同理对于第s阶模态将上式转置并右乘由于K、M矩阵为对称矩阵（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）当时上式不成立，此时由上式可得将上式代入得令：为第r阶模态刚度及模态质量，他们已不再是矩阵，而是某个数，他们与模态有关，不同的模态有不同的模态刚度与模态质量，但是对于一定得模态，模态刚度及模态质量的数值不是唯一的，他与模态向量的归一化方法有关，因为模态向量指标是振动的形状，不表示振幅的大小（19）（20）注意：模态试验的结果中振型也只是反映振动的形状模态正交性物理意义：第r阶模态的惯性力对第s阶模态位移所做的功为零此时由上式可得：由下式反映出一个重要的特征：由振动理论指出：一个无阻力系统的各阶模态称为主模态，各阶模态向量所张成的空间称为主空间，其相应的模态坐标称为主坐标。数学意义：两个矢量在空间正交，彼此成90度，相互之间的投影为零，即相互独立，互不依赖。将（12）式左边乘，并考虑到上述正交性，得（21）式中及均为对角矩阵，显然上式为非耦合方程，方程的坐标为模态坐标，参数为模态刚度、模态质量。若模态向量按下列形式归一化，即令：（22）模态质量归一化加权模态向量则质量矩阵和刚度矩阵对加权模态向量的正交性条件为：2.比例阻尼振动系统

由于质量矩阵M与刚度矩阵K均为对称实数矩阵，所以C亦为对称实数矩阵，满足解耦的条件，显然满足以下的正交性条件：模态阻尼，是一个数，非矩阵用模态坐标代替物理坐标，左乘，并考虑到上述正交性条件后可得经推到，对于第r阶模态多自由度系统频响函数与模态参数的关系经推到，对于2个自由度的系统：同样，对于N个自由度的系统：四、模态试验研究1.模态试验的目的、用途和特点2.模态试验的基本假设