计算机图形学8中文

几何变换

第4章1.矢量2.矩阵变换的数学基础（1）两个矢量之和：矢量运算（2）两个矢量的点积：（3）矢量的长度：矢量运算（4）两个矢量的叉积：aij是矩阵中第i行第j上的元素。上述矩阵记为A，或AmXn，或(aij)

mXn。矩阵续.定义：m=n时：A称为方阵m=1时：退化为行向量(vector)n=1时：退化为列向量(vector)

时：称为A=B续.单位矩阵：零矩阵：续矩阵加法：矩阵加法满足的运算律：结合律交换律A+0=A续.矩阵数乘续.矩阵乘法：矩阵乘法满足的运算律：结合律分配律AI=IA=A不满足交换律！续.矩阵转置矩阵转置运算律：续.矩阵行列式非奇异矩阵逆矩阵：非奇异矩阵具有逆矩阵若把n维空间坐标叫做普通坐标,则相应的n+1维空间坐标叫做齐次坐标.

齐次坐标技术:用n+1维向量表示n维向量的技术普通坐标齐次坐标(x，y)(hx，hy，h)其中，h是一个任意的非零标量齐次坐标齐次坐标则(x，y)的齐次坐标为(x，y，1)二维变换的表示旋转,缩放,对称,错切平移整体缩放投影代数式矩阵式三维空间右手直角坐标系XYZ点:

三维空间的代数表示矩阵表示引入齐次坐标[0001]变换的两种实现方法:

(1)坐标系不变,图形变换;(2)图形不变,坐标系变换.变换方法4.1二维变换平移变换旋转变换缩放变换反射变换错切变换二维复合变换

在二维坐标系中,将点P(x,y)在x、y轴方向分别平移tx、ty，得到点P’(x’,y’)，则P点与P’点的坐标关系为：

变换矩阵:T=矢量形式为：P’=P+T平移变换平移前平移后(4,5)(7,5)●●xy(7,1)(10,1)●●xy续用齐次坐标表示平移变换过程：其中:平移矩阵续.平移图形:平移是刚体变换平移图形的每个点平移图形的关键点并重新定义图形逆变换:P(x,y)P’(x’,y’)OrP1P1’旋转变换(相对原点)续.变换矩阵：则变换公式为：正:逆时针旋转负:顺时针旋转逆变换:续.图形的旋转变换对图形的每个点旋转同样角度旋转变换是刚体变换：旋转关键点重新定义图形旋转.旋转房子.房子也改变位置Beforerotation(9,2)(5,2)●●xyAfterrotationxy(2.1,4.9)●●(4.9,7.8)固定某个点的旋转变换?缩放变换（1）变换矩阵:变换公式:缩放变换是指对点的X，Y坐标值进行缩放。Sx,Sy

称为缩放系数，可取任何正数;S称为缩放矩阵。缩放变换可使物体产生重定位，如右图所示，缩放比例不同，定位距离也不同。当缩放系数大于1时，物体被放大，否则缩小；当Sx＝Sy时，物体发生等比变换，否则发生差值缩放，产生变形。缩放变换（2）P0P1’OP1P0’缩放图形多边形缩放顶点，然后重新定义多边形circle圆（中心对称图形）缩放半径给定定义参数的图形缩放参数并重新定义图形相对X轴对称：对称变换变换矩阵:变换公式:对称变换是产生物体镜象的一种变换.续.相对Y轴对称:续.相对原点对称:续.相对y=x直线对称:相对y=-x直线对称:

错切变换：保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该坐标值呈线性变化。 坐标保持不变的坐标轴称为倚赖轴，其它坐标轴称为方向轴。(1)以y轴为依赖轴的错切变换(沿x方向的错切）即y不变，x的值随y的值而线性变化Shx=tan

错切变换Shy=tan

(2)以x轴为依赖轴的错切变换续.续.两类:沿着x轴错切沿着y轴错切错切的通用表示:b=0ord=0变换合成根据矩阵运算的性质，可推出二维基本变换的如下性质：平移变换和旋转变换具有可加性缩放变换具有可乘性关于任意点的旋转变换设点是，则变换由一些基本变换构成•平移(T)•旋转(R)••逆平移T=T-1·R·T续.关于任意点的缩放参考点:,在缩放前后修改点变换由平移，关于原点的缩放，以及逆平移变换组成续.即:关于任意线的对称TRSY作业（1）直线为y=x+b写出T总关于任意直线的对称变换作业（2）证明我们可以通