第二章几何组成分析

第二章结构的几何构造分析基本要求：

理解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。

掌握无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，及常见体系的几何组成分析。了解结构的几何特性与静力特性的关系。几何构造分析的几个概念几何不变体系的组成规则几何组成分析举例体系的几何组成与静力特性的关系本章内容几何构造分析：对结构或体系的组成形式进行分析。§2-1几何构造分析的几个概念基本假定：不考虑材料的变形几何不变体系几何可变体系几何不变体系

在任意荷载作用下，几何形状及位置均保持不变的体系。（不考虑材料的变形）几何可变体系

在任意荷载作用下，几何形状及位置将发生改变的体系。（不考虑材料的变形）结构机构1.几何不变体系和几何可变体系结构组成分析的目的：(1)判定并设法保证结构的几何不变性。(2)在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。

2、刚片——平面刚体。形状可任意替换由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几何不变部分作为一个刚体，在平面体系的几何构造分析中称为刚片3、自由度w=2xy平面内一点自由度--确定物体位置所需要的独立坐标数目体系运动时可独立改变的几何参数数目平面内j个点，w=2jAxyBw=3平面内一刚片4、约束约束（联系）--减少自由度的装置。单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何在平面内两个点自由度等于4加入一根链杆后自由度等于3，减少了一个自由度一根链杆减少了一个自由度=一个联系（约束）用一链杆将一刚片与地面相联两刚片用一链杆相联Ⅰ2314561、2、3、4是链杆，折线型链杆、曲线型链杆可用直线型链杆代替。5、6不是链杆。单铰：联结两个刚片的铰称为单铰一个单铰相当于几个约束呢？在平面内两个刚片自由度等于6加入一个单铰后自由度等于4，减少了2个自由度一个单铰减少了两个自由度=两个联系（约束）联结两个以上刚片的铰称为复铰一个复铰相当于几个约束呢？连接n个刚片的复铰=(n-1)个单铰在平面内三个刚片自由度等于9加入一个复铰后自由度等于5，减少了4个自由度连接3个刚片的复铰减少了4个自由度=两个单铰A单刚结点复刚结点连接n个杆的复刚结点等于多少个单刚结点？n-1个不能减少体系自由度的约束叫多余约束。能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。5、多余约束和非多余约束链杆1和2能减少点

A的两个自由度，因此链杆1和2都是非多余约束。

链杆1、2和3共减少点

A的两个自由度，因此三根链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多余约束。每个自由刚片有多少个自由度呢？n=3每个单铰能使体系减少多少个自由度呢？s=2每个单链杆能使体系减少多少个自由度呢？s=1每个单刚结点能使体系减少多少个自由度呢？s=3（1）几何常变体系：受力后可发生有限位移。（2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。几何可变体系又可分为两种：6.瞬变体系几何常变体系瞬变体系A、B、C三个单铰在同一直线经过微小移动后变为几何不变由于瞬变体系能产生很大的内力（或不确定）,这表明，瞬变体系即使在很小的荷载作用下也会产生巨大的内力，从而可导致体系的破坏。故几何瞬变体系不能作为建筑结构使用。只有几何不变体系才能作为建筑结构使用。FFF1F2FF1F2F7.瞬铰(虚铰)两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交点处有一个瞬铰（虚铰）。虚铰的位置是随着链杆的转动而改变。在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论：(1)每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。(2)不同方向上有不同的∞点。(3)各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。(4)各有限远点都不在∞线上。8.无穷远处瞬铰三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成一个三角形——基本出发点.§2-2几何不变体系的组成规则基本规律：三角形规律ABCABC将BC杆视为刚片,

该体系就成为一刚片与一点相连的几何不变体系。规则1一点与一刚片用两根不共线的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。A12两根共线的链杆连一点瞬变体系

在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的自由度，也不改变原体系的机动性。两根不共线的链杆连结一个新结点的构造称为二元体。ABC图示为一无多余约束的几何不变体系单铰C用虚铰代换当杆通过铰瞬变体系规则2、两刚片以一铰及不通过该铰的一根链杆相连组成无多余约束的几何不变体系。CAB杆AC、BC均看成刚片，就成为两刚片组成的无多余约束几何不变体系BAa虚铰实铰规则3两刚片以不全平行，也不相交于一点的三根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。三杆虚交于一点瞬变体系不等长平行瞬变体系等长平行常变体系如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的可变体系三杆实交于一点常变体系图示为一无多余约束的几何不变体系ABC规则4三刚片以不在一条直线上的三铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。三铰共线瞬变体系将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚片组成的无多余约束的几何不变体系如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系关于无穷远瞬铰的情况图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多余约束。AIII1IIB2IC两平行链杆与两铰连线平行,瞬变体系图示体系，瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无多余约束。BIIIIICIA

图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个铰A、B、C位于同一直线上，故体系为瞬变体系。AIIIIICIB三刚片以三对平行链杆相联无穷远处所有点均在一无穷远直线上瞬变体系（a）（b）（c）（e）（d）四个规则可归结为一个三角形法则。规则连接对象必要约束数对约束的布置要求一一点一刚片两个两链杆不共线二两刚片三个链杆不过铰三三链杆不平行也不交于一点四三刚片六个三铰(单或虚)不共线利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性的分析。在分析过程中应注意：如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则组成几何不变体系

如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚片或刚片中的一部分。几何组成分析举例瞬变体系（

）体系是由三个刚片用三个共线的铰ABC相连，故为瞬变体系。（）××1、去掉二元体，将体系简单化，然后再分析。几种常用的分析途径依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。ACBD2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉基础，只分析上部。抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可变体系。ⅠⅡABCFDⅢ3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。O12O23O13如图示，三刚片用三个不共线的铰相连，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。O23O23O23O13O13O13O12O12O12ⅠⅡⅢA三个刚片用共点的三个铰相连，将虚铰用单铰代替，可见刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上A的点转动，故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。(ⅠⅡ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)三刚片用不共线三铰相连，故原体系为无多余约束的几何不变体系。

4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅢⅡⅠ④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。②在体系内确定三个刚片。③三刚片用三个不共线的三铰相连。该体系是几何不变体系有四个多余约束。5、由基础开始逐件组装

6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替它。有一个多余约束的几何不变体系ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系进一步分析可得，体系是无多余约束的几何不变体系作业2-1a2-2b2-3cd2-8a2-9c2-10b例1:对图示体系作几何组成分析解:三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.例2:对图示体系作几何组成分析解:该体系为无多余约束的几何不变体系.例3:对图示体系作几何组成分析解:该体系为无多余约束的几何不变体系.利用规则将小刚片变成大刚片.例4:对图示体系作几何组成分析将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.解:如三链杆相交，该体系为瞬变体系，如三链杆不相交，该体系为几何不可变体系例4:对图示体系作几何组成分析解:如三链杆相交，该体系为瞬变体系，如三链杆不相交，该体系为几何不可变体系例5:对图示体系作几何组成分析解:该体系为常变体系.方法；

去掉二元体.例6:对图示体系作几何组成分析解:该体系为无多余约束几何不变体系.方法：从基础部分(几何不变部分)依次添加.A1B2CD3AB11AB221BACD3例7:对图示体系作几何组成分析解:该体系为有一个多余约束几何不变体系.§2-3平面杆件体系的计算自由度一、复杂链杆与复杂铰1.简单链杆与复杂链杆简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。2.简单铰与复杂铰简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。若刚片数为m，则该复杂铰相当于

(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称为复杂铰。3.封闭刚架有三个多余约束无多余约束二、计算自由度S—自由度；a—自由度总数；W—计算自由度；d—约束总数；n—多余约束数c—非多余约束数二、计算自由度1.将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆为约束。则计算自由度公式为：m—刚片数；g—简单刚结数；h—简单铰数；b—简单链杆数在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。

2.将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度公式为：j—结点数；b—简单链杆数。

3.混合公式——约束对象为刚片和结点，约束为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：m、j、g、h、b意义同前。

4.一个体系若求得W>0，一定是几何可变体系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。所以W

0是体系几何不变的必要条件，而非充分条件。三、例题例2-3-1

试求图示体系的计算自由度。解：ABCIIIIII123例2-3-2

求图示体系的计算自由度。