大学物理实验-误差理论分析2014年2月

第一章

测量误差及数据处理方法§

1.1测量与误差关系§

1.2测量结果误差估算及评定方法§

1.3直接测量结果误差估算及评定方法§

1.4间接测量结果误差估算及评定方法§

1.5

有效数字及其运算§

1.6常用数据处理方法

按测量方法不同可分直接测量间接测量

测量：用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。一、

测量（测量是物理实验的基础）§

1.1测量与误差关系直接测量--指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；

间接测量--指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量

二、

误差2、误差来源（1）

仪器误差：任何仪器都存在误差（2）

环境误差：温度、气流、外界电磁场……（3）

测量方法误差：测量方法本身依据的理论不完善（4）

人员误差：操作者主观因素和操作技巧1、误差的定义测量误差=测量值-真值

N真是客观存在的但无法测量到，因为测量与误差是形影不离的。反映的是测量值偏离真实值的大小和方向。注意有正、负之分。（单位）§

1.1测量与误差关系§

1.1测量与误差关系3、

误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）（1）系统误差—同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量

特点：确定性

产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完备、测量者的不良习惯等。分类及处理方法：1）已定系统误差：必须修正（电表、螺旋测微计的零位误差；）2）未定系统误差：要估计出分布范围（大致与B类不确定度B

相当）如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量

特点:(a)测量次数大多情况下随机误差没有规律;(b)大量测量时随机误差服从统计规律。产生原因：测量仪器、环境条件、测量人员等。§

1.1测量与误差关系3、

误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）举例：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化，操作读数时的视差影响。（2）随机误差§

1.1测量与误差关系3、

误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）正态分布特点：（1）绝对值小的误差出现的概率大（单峰性）（2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等，所以用多次测量取平均的方法可以减小随机误差（对称性）（3）绝对值很大的误差出现的概率趋于零（有界性）曲线下面积为1，曲线越窄，峰越高，随机误差越小。（很多服从正态分布）§

1.1测量与误差关系3、

误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）（3）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差

特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。

产生原因：测量中的疏忽或其它种种原因。例如，突然的振动，短时间的强风，偶尔记录错误。

（1）绝对误差：反映误差本身大小。（2）相对误差（百分误差）：反映误差严重程度。结果表示：（单位）§

1.1测量与误差关系4、

测量结果表示问:有了绝对误差，为什么还要引入相对误差呢？答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但它不能反映误差的严重程度。2m20m例:两个绝对误差如下，哪个大,哪个严重？我们不知道它们是在什么测量中产生的，所以难以回答。§

1.1测量与误差关系§

1.1测量与误差关系注意：绝对误差大的，相对误差不一定大绝对误差与相对误差之间没有必然联系100米跑道地月2m20m§

1.1测量与误差关系5、

精密度、正确度与准确度（又称精确度）精密度—反映随机误差（测量值离散程度）正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度）准确度—反映综合误差正确度较高、精密度低精密度高、正确度低准确度(精确度)高(a)(c)(b)§1.2测量结果误差估算及评定方法

由于真值客观存在但不可测，一般用公认值或多次测量的算术平均值作为真值的最佳估计。即：对N进行K次测量，得N1，N2……Nk，则评定其可靠性（可信度如何）的方法有三种。

它们是：算术平均偏差δ、标准偏差σ、不确定度μ1．算术平均偏差结果可表示为：（单位）其中：Ni-N为残差

特点：简单；缺点：大偏差得不到应有反映。§1.2测量结果误差估算及评定方法

（2）平均值的标准偏差（在同一条件下对某物理量进行多次测量）

（1）测量列的实验标准差2．标准偏差（反映平均值代替真值的精密度）

m个K次平行测定的平均值：由统计学可得：K§1.2测量结果误差估算及评定方法

标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。

理解：若随机误差服从正态分布，在距平均值σ

处，是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1，σ越小，曲线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。

§1.2测量结果误差估算及评定方法置信概率（包含真值的概率）范围68.3%

95.4%99.7%NpA类分量（用统计方法计算）uA：B类分量（用其他方法计算）uB：合成不确定度3．不确定度（反映平均值代替真值的准确度）

Δins为仪器的极限误差；K为置信系数。测量结果表示为：相对不确定度：（单位）§1.2测量结果误差估算及评定方法§1.2测量结果误差估算及评定方法约定：在我们的实验中不确定度取1位有效数字；相对不确定度取1-2位有效数字注意：的末位和u对齐。完整的测量结果应表示为：以电阻测量为例测量对象测量对象的量值不确定度

单位§1.11.2小结§

1.1测量与误差关系§1.2测量结果误差估算及评定方法测量的定义、分类（直接测量、间接测量）误差的定义、来源误差的分类（系统误差、随机误差、粗大误差）绝对误差、相对误差精密度、正确度、准确度算术平均偏差标准偏差不确定度§1.3直接测量误差估算及评定一、单次测量误差估算及评定单次测量结果的误差估算常以测量仪器误差来评定。仪器误差：

△已标明（或可明确知道）的误差

△未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度的一半作误差。

△电学仪器根据仪器的精度来考虑

如电表：例:

如用一个精度为0.5级，量程为10μA的电流表，单次测量某一电流值为2.00μA，试用不确定度表示测量结果。

解：不确定度

u=10μA×0．5％=0．05μA

结果表示

I=（2．00±0．05）μA§1.3直接测量误差估算及评定一、单次测量误差估算及评定§1.3直接测量误差估算及评定二、多次测量结果的误差估算及评定程序

由于测量中真值虽然客观存在但不可测，多次测量中以算术平均值代替，作为测量结果。评定程序：1.求多次测量的平均值2.计算或或u3.测量结果表示（如用不确定度u，则结果为）u的利弊——计算方便但准确度低——只考虑了随机误差，只反映了精密度u

——既含随机误差又含系统误差，且准确度高今后我们约定结果写成：式中这种表示方法的置信概率大约为95%左右§1.3直接测量误差估算及评定二、多次测量结果的误差估算及评定程序例：见课本P21页

绝对误差相对误差一、

一般的误差传递公式当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对误差较方便当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对误差较方便§1.4间接测量结果误差的估算及评定N=f(x,y,z)

假设间接测量值N与直接测量值x,y,z的函数关系为：

二、

标准偏差的传递公式§1.4间接测量结果误差的估算及评定

三、不确定度的传递公式不确定度相对不确定度§1.4间接测量结果误差的估算及评定函数形式不确定度传递公式表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式[总结]

间接测量结果用不确定度评定的基本步骤：

（1）计算各直接测量的最佳值和它们的不确定度；

（2）根据公式计算间接测量量的不确定度（保留1位有

效数字），或相对不确定度（保留1~2位有效数字）；

（3）求出间接测量值N，N的末位与不确定度所在位对齐；

（4）写出结果

注意单位不要漏写

§1.4间接测量结果误差的估算及评定例:用一级千分尺（）测量某圆柱体的直径D和高度H，测量数据如下，求体积V并用不确定度评定测量结果。

§1.4间接测量结果误差的估算及评定测量次数D/mmH/mm13.0044.09623.0024.09433.0064.09243.0004.09653.0064.09663.0004.09473.0064.09483.0044.09893.0004.094103.0004.096解：（1）计算直接测量值D、H的不确定度（a）求多次测量的平均值（b）A类不确定度—（c）B类不确定度§1.4间接测量结果误差的估算及评定（3）写出结果（d）计算UD和UH（2）计算间接测量值V和及其不确定度Uv§1.4间接测量结果误差的估算及评定例2:P25-26例5、例6、例7

举例：1.25 （3位有效数字）

1.250 （4位有效数字） 0.0125（3位有效数字）

1.0025（5位有效数字）§1.5有效数字及其运算一、什么叫有效数字有效数字一般由若干位准确数字和一位可疑数字（欠准数字）构成。§1.5有效数字及其运算注意：（1）同一物体用不同精度的仪器测量，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效数字的位数越多如：最小分度被测量长有效数字位数米尺1mm120.6mm4游标卡尺0.02mm120.60mm5螺旋测微器0.01mm120.600mm6（2）有效位数与十进制单位的变换无关如：12.06cm=0.1206m=0.0001206km

有效位数都是4位§1.5有效数字及其运算注意：（3）表示小数点位数的“0”不是有效数字；数字中间的“0”和数字尾部的“0”都是有效数字；数据尾部的“0”不能随意舍掉，也不能随意加上。如：

900v=9.00×102v=9.00×105mv=9.00×10-1kv二、有效数字运算规则§1.5有效数字及其运算原则：准确数字之间进行四则运算仍为准确数字；

可疑数字与准确数字或可疑数字之间运算结果为可疑数字；运算中的进位数可视为准确数字１、加减运算

尾数对齐——在小数点后所应保留的位数与诸量中小数点后位数最少的一个相同。如：11.4+2.56=13.96=14.0

75-10.356=64.644=65

如：4000×9.0=3.6×104

２、乘除运算

位数对齐——有效数字的位数一般与诸量中有效数字位数最少的一个相同。§1.5有效数字及其运算二、有效数字运算规则3、某些常见函数运算的有效位数

（1）对数函数尾数的位数取得与真数的位数相同；2.000÷0.10=203、某些常见函数运算的有效位数（2）指数函数的有效数字，可与指数的小数点后的位数（包括紧接在小数点后的零）相同；§1.5有效数字及其运算二、有效数字运算规则（3）三角函数的取位随角度的有效位数而定；4、常数的有效位数可以认为是无限的，实际计算中一般比运算中有效数字位数多取1位；§1.5有效数字及其运算二、有效数字运算规则5、当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字应遵循加减、乘除运算规则逐步取舍；2、最佳值或测量值末位与不确定度末位对齐。三、不确定度和测量结果的数字化整规则1、本书约定不确定度只保留1位。

相对不确定度1~2位。

尾数采用四舍六入五凑偶

如：1.4=1，2.6=3，1.5=2，2.5=2 §1.5有效数字及其运算§1.5有效数字及其运算实验中如何确定数据的有效位数？

在实验中我们所得的测量结果都是可能含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效位数。直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度游标类器具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等）一般读至游标最小分度的整数倍，即不需估读。§1.5有效数字及其运算数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读取仪表的示值。§1.5有效数字及其运算直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度指针式仪表及其它器具，读数时估读到仪器最小分度的1/2～1/10，或使估读间隔不大于仪器基本误差限的1/5～1/3。§1.5有效数字及其运算直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度注意指针指在整刻度线上时读数的有效位数。§1.5有效数字及其运算直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度§1.6常用的数据处理方法列表法作图法数学方法（逐差法、最小二乘法等）一、列表法列表法是将实验上得到的数据按一定的规律列成表格。优点：能使物理量之间对应关系清晰明了，有助于发现实验中的规律，也有易于发现实验中的差错，列表法又是其他数据处理的基础应当熟练掌握。§1.6常用的数据处理方法列表要求：（1）各栏目（纵及横）均应标明名称和单位。（2）原始数据应列入表中，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可列入表中。（3）栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的程序，力求简明、齐全、有条理。（4）若是函数关系测量的数据表，应按自变量由小到大（或由大到小）的顺序排列。（5）必要时附加说明一、列表法

作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据表１数据U轴可选1mm对应于0.10V，I轴可选1mm对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为130mm×130mm。作图步骤：实验数据列表如下：

表1：伏安法测电阻实验数据二、作图法§1.6常用的数据处理方法2.标明坐标轴：

用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.连成图线：

用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。3.标实验点：实验点可用“”、“”、“”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点A、B的坐标就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线6.标出图名：

在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：至此一张图才算完成不当图例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：图2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm

代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4000图3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。定容气体压强～温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正为：三、逐差法逐差法是对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔相减得到结果。它计算简便，并可充分利用数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。使用条件：（1）自变量x是等间距变化（2）被测物理量之间函数形式可以写成x的多项式：分类：逐差法逐项逐差（用于验证被测量之间是否存在多项式函数关系）分组逐差（用于求多项式的系数）§1.6常用的数据处理方法应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数）

设实验中，等间隔的在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0L1L2‥‥‥L9，则可用逐差法进行以下处理（1）验证函数形式是线性关系

看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否基本相等.当⊿Li基本相等时,就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即F=k⊿L用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须用逐项逐差把所得的数据逐项相减三、逐差法§1.6常用的数据处理方法（2）求物理量数值现计算每加一克砝码是弹簧的平均伸长量从上式可看出用逐项逐差，中间的测量值全部抵消了，只有始末二次测量起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。若用逐项逐差得到：再求平均三、逐差法§1.6常用的数据处理方法

为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作