电工基础课件第四章

电工基础第四章4.1正弦交流电的基本概念

4.2正弦量的有效值

4.3

正弦量的相量表示方法

4.4正弦电路中的电阻元件4.5正弦电路中的电感元件

第4章正弦交流电路4.6正弦电路中的电容元件

4.7基尔霍夫定律的相量形式

4.8复阻抗复导纳及其等效变换

4.9RLC串联电路

4.10RLC并联电路

4.11交流电路的相量分析法4.12正弦交流电路的功率4.13功率因数的提高4.14谐振4.1正弦交流电的基本概念4.1.1正弦量1、多种随时间变化的电压和电流的波形图4.1多种随时间变化的电压和电流的波形2、瞬时值时变电压和电流在任一时刻的数值称为瞬时值。时变电压和电流中有分非周期电压和电流(如图4.1(a)所示)以及周期电流和电压(如图4.1(b)、(c)、(d)所示)。周期电压和电流是指随时间作周期性变化的电压和电流。

3、正弦量或正弦交流电①随时间按正弦规律变化的交流电压、电流称为正弦电压、电流。②把电压、电流均随时间按正弦规律变化的电路称为正弦交流电路。正弦电压、电流统称为正弦量或正弦交流电。③世界上电力工业中绝大多数都采用正弦交流电。4.1正弦交流电的基本概念4.1.2正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素：振幅、角频率和初相其波形如图4.2所示。图4.2正弦电流

的波形初相角频率振幅4.1正弦交流电的基本概念1.振幅正弦量是一个等幅振荡的、正负交替变化的周期函数，振幅是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。称中的为电压

的振幅。振幅为正值。2.角频率①正弦量的相位随时间变化的角度称为正弦量的相位。

角频率，即是相位随时间的变化率。反映了正弦量变化的快慢程度，其单位为弧度／秒(rad／s)。②角频率③由于正弦量变化一个周期，相位变化2π，可以得出④我国电力系统使用的交流电频率标准(简称工频)是50Hz；美国为60Hz；广播电视载波频率为30MHz～300MHz。4.1正弦交流电的基本概念①θ称为正弦电流的初相。它是正弦量在t＝0时的相位，即3.初相②初相的正负与大小与计时起点的选择有关。通常在的主值范围内取值。如果离坐标原点最近的正弦量的最大值出现在时间起点之前，则式中的θ＞0；如果离坐标原点最近的正弦量的最大值出现在时间起点之后，则式中的θ＜0。

4.1正弦交流电的基本概念例4.1已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.3所示。写出正弦量的数学表达式。图4.3例4.1图解

4.1正弦交流电的基本概念4.1.3相位差两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用字母“”表示。有两个正弦量：相位差即两个同频率正弦量的相位差，等与它们的初相之差。4.1正弦交流电的基本概念下面分别加以讨论：(1)且弧度，如图4.5(a)所示，达到零值或振幅值后，需经过一段时间才能达到零值或振幅值。因此，越前于，或称滞后于越前于的角度为，越前的时间为(2)且弧度，滞后于滞后的角度为(3)称这两个正弦量相同，如图4.5(b)所示。(4)称这两个正弦量相反，如图4.5(c)所示。(5)称这两个正弦量正交，如图4.5(d)所示。图4.5同频率正弦量的几种相位关系4.1正弦交流电的基本概念例4.2已知求u和i的初相及两者间的相位关系解

所以电压u的初相角为电流i的初相角为表明电压u滞后于电流i

。注意：初相的取值范围为4.1正弦交流电的基本概念4.1正弦交流电的基本概念例4.3

分别写出图4.6中各电流的相位差，并说明的相位关系。4.1正弦交流电的基本概念解

(a)由图已知表明滞后于(b)由图已知表明二者同相。表明二者反相。(c)由图已知表明(d)由图已知越前于4.2正弦量的有效值4.2.1有效值的定义

交流电流I通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过统一电阻R在相同时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I的数值叫做交流电流I的有效值，用大写字母表示，如I、U等。提示：在日常生活和生产中常提到的220V，380V及常用于测量交流电压和交流电流的各种仪表所指示的数字，电气设备铭牌上的额定值都指的是交流电的有效值。

一个周期内直流电通过电阻R所产生的热量为交流电通过同样的电阻R在一个周期内产生的热量为由有效值的定义，这两个电流所产生的热量应该相等，即所以交流电的有效值为对于交流电压也有同样的定义，即4.2正弦量的有效值4.2.2正弦量的有效值

同样，正弦交流电的有效值为这样，只要知道有效值，再乘以就可以得到它的振幅值。如我们日常所说的照明用电电压为220V，其最大值为当电阻R上通以正弦交流电流时，由有效值的定义可知4.2正弦量的有效值例4.5

一正弦电压的初相位为试求它的解析式。,有效值为100V，解因为U=100V,所以其最大值为则电压的解析式为V4.2正弦量的有效值正弦量的表示方法有：

数学表达式、波形图、相量表达式

4.3正弦量的相量表示方法

4.3.1复数及四则运算1.复数在数学中常用表示复数，其中a为实部，b为虚部，称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。图4.7复数在复平面上的表示图4.8复数的矢量表示如图4.8所示，这种矢量称为复矢量。矢量的长度r为复数的模。

矢量和实轴正方向的夹角称为复数A的辐角不难看出:4.3正弦量的相量表示方法

(1)复数的代数形式

(2)复数的三角形式2.复数的四种形式(4)复数的极坐标形式4.3正弦量的相量表示方法(3)复数的指数形式例4.6

写出复数的极坐标形式。

解

的模

辐角

(在第四象限)则的极坐标形式为的模辐角

(在第二象限)则极坐标形式为4.3正弦量的相量表示方法4.3正弦量的相量表示方法的三角形式和代数形式。例4.7

写出复数解

三角形式代数形式(1)复数的加法

则3.复数的四则运算即复数相加减时，将实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。图4.9为复数相加减矢量图。复数相加符合“平行四边形法则”，复数相减符合“三角形法则”。图4.9复数相加减矢量图4.3正弦量的相量表示方法

(1)复数的乘除法即复数相乘，模相乘，辐角相加。复数相除，模相除，辐角相减。4.3正弦量的相量表示方法，解

例4.8

求复数，之和及积AB4.3.2正弦量的相量表示法给出一个正弦量在复平面上作一矢量，如图4.10所示。(1)矢量的长度按比例等于振幅值(2)矢量和横轴方向之间的夹角等于初相角(3)矢量以角速度绕坐标原点逆时针方向旋转。

上述旋转矢量既能反映正弦量的三要素，又能通过它在纵轴上的投影确定正弦量的瞬时值，所以复平面上一个旋转矢量可以完整的标是一个矢量。图4.10正弦量的复数表示4.3正弦量的相量表示方法

复平面上的矢量与复数是一一对应的，用复数来表示复数的起始位置再乘以旋转因子便为上述旋转矢量，即4.3正弦量的相量表示方法正弦量的相量表示方法为：把模等于正弦量的有效值(振幅值)，辐角等于正弦量的初相的复数称为该正弦量的相量

4.3正弦量的相量表示方法，例4.9

已知同频率的正弦量的解析式分别为，写出电流和电压的相量并绘出相量图。解由解析式可得相量图如图所示。例4.10

已知工频条件下，两正弦量的相量分别为试求两正弦电压的解析式。4.3正弦量的相量表示方法解由于，

所以4.4正弦电路中的电阻元件4.4.1电阻元件上电压与电流的关系在图4.12所示电压和电流为关联参考方向下

图4.12纯电阻电路1.电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系2.电阻元件上电流和电压之间的关系其中把上式中电流和电压的振幅各除以便可以得到

3.电阻元件上电流和电压之间的相位关系

因为电阻是纯实数，在电压和电流为关联参考方向时，电流和电压同相。图4.13(a)式电阻元件上电流和电压的波形图。图4.13电阻元件上电流与电压之间的关系4.4正弦电路中的电阻元件4.4.2电阻元件上电压与电流的相量关系

在关联参考方向下，流过电阻元件的电流为对应的相量为加在电阻元件两端的电压所以有4.4正弦电路中的电阻元件4.4.3电阻元件的功率

电阻元件通过正弦电流时，在关联参考方向下，瞬时功率为4.4正弦电路中的电阻元件1、瞬时功率交流电路中，任意瞬间，元件上的电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率，用小写字母p表示，即图4.14电阻元件的功率曲线由上式和功率曲线可知，电阻元件的瞬时功率以电源频率的两倍做周期性变化。在电压和电流为关联参考方向时，在任一瞬间，电压与电流同号，所以瞬时功率恒为正值，即表明电阻元件是一个耗能元件。任一瞬间均从电源接受功率。4.4正弦电路中的电阻元件

工程上都是计算瞬时功率的平均值，即平均功率，用大写字母P表示。周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时功率在一个周期内的平均值，即得

结论：平均功率反映了电阻元件实际消耗电能的情况4.4正弦电路中的电阻元件2、平均功率（有功功率）例4.11

电阻，R两端的电压求(1)通过电阻R的电流和(2)电阻R的接受的功率(3)作的相量图解

(1)因为所以(2)或(3)相量图如图4.15所示图4.15例4.11图

4.4正弦电路中的电阻元件

1.瞬时关系2.大小关系电感元件上的伏安关系，在关联参考方向下设所以式中

两边同除以便可以得到

其中

4.5正弦电路中的电感元件4.5.1电感元件上电压和电流的关系称为感抗，当的单位为1/s，L的单位为H,的单位为。感抗是用来表示电感线圈对电流的阻碍作用的一个物理量。在电压一定的条件下，越大，电路中的电流越小。电源频率越高，感抗越大，表示电感对电流的阻碍越大。反之，频率越低，线圈的感抗也越小。对直流电来说，频率,感抗也就为零。电感元件在直流电路中相当于短路。4.5.2电感元件上电压和电流的相量关系

在关联参考方向下，流过电感的电流为电感元件两端的电压为所以电流与电压的相量图如图4.18所示。图4.18电感元件电流和电压的相量图4.5正弦电路中的电感元件电感元件上电压较电流超前

1.瞬时功率则设通过电感元件的电流为所以4.5正弦电路中的电感元件4.5.3电感元件的功率结论：电感元件的瞬时功率p也是随着时间按正弦规律变化，其频率为电流频率的两倍。图4.19电感元件的功率曲线由图4.19可以看到，在第一及第三个1/4周期内，瞬时功率为正值，电感元件从电源吸收功率，在第二及第四个1/4周期内，瞬时功率为负值，电感元件释放功率。在一个周期内，吸收功率和释放功率是相等的，即平均功率为零。这说明电感元件不是耗能元件，而是“储能元件”。4.5正弦电路中的电感元件

2.平均功率4.5正弦电路中的电感元件3.无功功率我们把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积叫做电感元件的无功功率，用表示。，表示电感元件是接受无功功率的。无功功率的单位为“乏”(var),工程中也常用“千乏”(kvar)。

4.5正弦电路中的电感元件例4.12

已知一个电感，接在的电源上，求(1)(2)通过电感的电流(3)电感上的无功功率解

(1)(2)(3)

4.5正弦电路中的电感元件。例4.13

已知过电感元件中的电流为测得其无功功率求(1)(2)电感元件中储存的最大磁场能量和L解

(1)

(2)4.6.1电容元件上电压和电流的关系电容元件上的伏安关系，在关联参考方向下有

4.6正弦电路中的电容元件1.瞬时关系2.大小关系设则

所以式中两边同除以便可以得到

其中称为容抗，当的单位为，C的单位为F时，的单位为容抗表示电容在充放电过程中对电流的一种阻碍作用。在一定的电压下，容抗越大，电路中的电流越小。4.6正弦电路中的电容元件

即电容元件上电流较电压越前图4.21给出了电流和电压的波形图。3.相位关系电容元件上电压和电流的相位关系图4.21电容元件上电流和电压的波形图4.6正弦电路中的电容元件4.6.2电容元件上电压与电流的相量关系

图4.22电容元件上电流和电压的相量图在关联参考方向下，选定电容两端的电压为通过电容上的电流为所以

4.6正弦电路中的电容元件4.6.3电容元件的功率

功率曲线图如下1.

瞬时功率在电压和电流去关联参考方向时，电容元件上的瞬时功率为图4.23电容元件功率曲线4.6正弦电路中的电容元件与电感元件一样,电容元件也不是耗能元件,而是储能元件.

我们把电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积的负值,称为电容元件的无功功率,2.

平均功率3.

无功功率表示电容元件是发出无功功率的，单位是乏(var)或千乏(kvar)。4.6正弦电路中的电容元件例4.14

已知一电容，接到220V，50Hz的正弦交流电源上，求(2)电路中的电流和无功功率(3)电源频率便为1000Hz时的容抗。(1)

解

(1)(2)(3)当时4.6正弦电路中的电容元件4.6正弦电路中的电容元件，接于例4.15

一电容的电源上。求(1)流过电容的电流(2)电容元件的有功功率和无功功率(3)电容中储存的最大电场能量(4)绘电流和电压的相量图。解

(1)所以4.6正弦电路中的电容元件(2)(3)(4)相量图如图4.24所示。图4.24例4.15图4.7.1相量形式的基尔霍夫电流定律

4.7基尔霍夫定律的相量形式即流过电路中的一个节点的各电流解析式的代数和等于零。1、基尔霍夫电流定律的实质电流的连续性原理2、相量形式基尔霍夫电流定律的内容4.7.2相量形式的基尔霍夫电压定律

在正弦交流电路中，各段电压都是同频率的正弦量，所以表示一个回路中各段电压相量的代数和也等于零，即4.7基尔霍夫定律的相量形式1、基尔霍夫电压定律的实质能量守恒定律2、相量形式基尔霍夫电压定律的内容例4.16

如图4.25(a)、(b)所示电路中，已知电流表都是10A,求电路中电流表A的读数。4.7基尔霍夫定律的相量形式图4.25例4.16图解题过程4.7基尔霍夫定律的相量形式解设端电压(1)选定电流的参考方向如图(a)所示，则

(与电压同相)

由ＫＣＬ电流表的读数为注意：这与直流电路是不同的，总电流并不是20Ａ。

(滞后于电压)Ａ4.7基尔霍夫定律的相量形式(2)选定电流的参考方向如图(b)所示，则

(超前于电压)电流表的读数为10Ａ。1由ＫＣＬ4.7基尔霍夫定律的相量形式例4.17

如图4.26(a)，(b)所示电路中，电压表的读数都是５０Ｖ，试分别求个电路中的Ｖ表的读数。图4.26例4.17图解题过程4.7基尔霍夫定律的相量形式解设电流为参考相量，即(1)选定的参考方向如图(a)所示，则由ＫＶＬ所以电压表Ｖ的读数为Ｖ。(与电流同相)(超前于电流)4.7基尔霍夫定律的相量形式(2)选定的参考方向如图(b)所示，则由KVL电压表Ｖ的读数为50Ｖ。4.8.1复阻抗与复导纳电路中的电阻，电感和电容元件上的电流和电压的相量关系，可以用如下统一形式来表示，即

4.8复阻抗复导纳及其等效变换1.

复阻抗把式中Ｚ称为元件的阻抗。还可得Ｚ是一个复数，所以又成为复阻抗。

阻抗Ｚ用代数形式表示时，可写为，Ｚ的实部为Ｒ，称为“电阻”，Ｚ的虚部为Ｘ，称为“电抗”，它们之间符合阻抗三角形，如图4.28所示。从而有下列关系图4.28阻抗三角形4.8复阻抗复导纳及其等效变换复阻抗的倒数叫复导纳，用大写字母Ｙ表示，即

2.

复导纳在国际单位制中，Ｙ的单位是西门子，用“Ｓ”表示，简称“西”。复导纳的极坐标形式为4.8复阻抗复导纳及其等效变换

3.

复阻抗与复导纳的关系即复导纳的模等于对应复阻抗模的倒数，导纳角等于对应阻抗角的负值。可以看出4.8复阻抗复导纳及其等效变换4.8.2复阻抗与复导纳的等效变换图4.29(a)所示为电阻Ｒ与电抗Ｘ串联组成的复阻抗，图4.29(b)所示为电导Ｇ与电纳Ｂ组成的复导纳，根据等效的含义：两个二端口网络只要端口处具有完全相同的电压电流关系，二者便是互为等效的。

1.

将复阻抗等效为复导纳由

所以图4.29复阻抗与复导纳的等效变换4.8复阻抗复导纳及其等效变换4.8复阻抗复导纳及其等效变换2．将复导纳等效为复阻抗

由复导纳等效变换为复阻抗的参数条件

4.8复阻抗复导纳及其等效变换例4.18

已知加在电路上的端电压为通过电路中的电流为求、阻抗角和导纳角解

电压的相量为所以4.8复阻抗复导纳及其等效变换例4.19

如图4.29(a)所示，已知电阻试求其等效复导纳。图4.29复阻抗与复导纳的等效变换解

由已知条件所以4.9.1电压与电流的关系图4.30给出了RLC串联电路。电路中流过各元件的是同一个电流，

4.9RLC串联电路图4.30RLC串联电路若电流则其相量为4.9.2电路的性质

1.

电感性电路：图4.31RLC串联电路的相量图此时阻抗角相量图如图4.31(a)所示，从相量图中可看出，电流滞后于电压角。

4.9RLC串联电路

2.

电容性电路：其相量图如图4.31(c)所示，此时电流与电压相同。如前作相量图，如图4.31(b)所示，从相量图中可以看出，电流超前于电压角。3.

电阻性电路：此时

阻抗角阻抗角此时

4.9RLC串联电路4.9.3阻抗串联电路

图4.32给出了多个复阻抗(每个复阻抗都是由R，L，C组合而成)串联的电路，电流和电压的参考方向如图中所示。由KVL可得图4.32多阻抗串联其中Z为串联电路的等效阻抗，有上式可得4.9RLC串联电路4.9RLC串联电路、例4.20

有一RLC串联电路，其中，外加电压试求(1)复阻抗Z，并确定电路的性质(2)(3)绘出相量图解

(1)，所以此电路为电感性电路4.9RLC串联电路(3)相量图如图所示。(2)4.9RLC串联电路，电源电压，要使问串联的电感应为多少？例4.21电感降压来调速的电风扇的等效电路如图4.34(a)所示，已知解

以为参考相量，作相量图如图4.36(b)所示。由相量图得代入数据4.9RLC串联电路解得图4.34例4.21图4.10.1阻抗法分析并联电路图4.35所示为一个两条支路并联的电路，其中每一条支路都是一个简单的串联电路。

4.10RLC并联电路图4.35RLC并联电路由KCL知总电流为这个电路的相量图也是不难做出的，由于并联电路个之路的电压相同，所以习惯上常取电压为参考相量。即选择该电压相量的辐角为零。

图4.36并联电路的相量图4.10RLC并联电路，、例4.22

两条支路并联的电路如图4.37所示。已知端电压求各支路电流，并画出相量图。图4.37例4.22图解

选的参考方向如图所示。4.10RLC并联电路4.10RLC并联电路由KCL相量图如图4.38所示

图4.38例4.27相量图4.10.2导纳法分析并联电路一个并联电路可以用阻抗法分析，也可以用导纳法分析。对于多个之路的并联电路，用导纳法显得更为方便。

图4.39RLC并联电路在图4.39所示电路中，则各支路的电流为4.10RLC并联电路

(a)(b) (c)

图4.40RLC并联电路相量图电感支路的“感纳”

电容支路的“容纳”称为“电纳”，利用电纳也可判断电路的性质：(1)

总电流越前于端电压，电路呈电容性，如图4.40(a)所示。(2)

总电流滞后于端电压，电路呈电感性，如图4.40(b)所示。(3)

总电流与端电压同相，电路呈电阻性，如图4.40(c)所示。4.10RLC并联电路4.10RLC并联电路例4.23

图4.39所示为RLC并联电路，已知端电压为试求(1)并联电路的复导纳Y；(2)各支路的电流和总电流(3)绘出相量图解

选的参考方向如图所示4.10RLC并联电路(1)(2)由已知则(3)相量图如图4.41所示图4.41例4.28相量图4.10.3多阻抗并联图4.42给出了一个由多支路并联的电路图。

图4.42多阻抗并联由KCL其中4.10RLC并联电路图4.43例4.24图例4.24图4.43所示并联电路中，已知端电压试求:(1)总导纳；(2)各支路电流和总电流的参考方向如图所示

解：选(1)

4.10RLC并联电路(2)

4.10RLC并联电路4.11.1网孔电流法图4.44给出了一个由两个网孔组成的交流电路，图中各量都已知，求各支路电流

4.11交流电路的相量分析法图4.44网孔电流法其参考方向如图4.44所示。各网孔绕行方向和本网孔电流参考方向一致，列网孔电流方程为其中解方程可求出各支路电流分别为例4.25

图4.44所示电路中，已知，求各支路电流。4.11交流电路的相量分析法解

选定各支路电流和网孔电流如图所示，选定参考绕行方向和网孔电流的参考方向一致。列出网孔方程为的参考方向整理得4.11.2节点法用节点法解图4.44所示电路。各电流电压相量的参考方向如图中所示，以b点为参考节点，则

其中

4.11交流电路的相量分析法4.11交流电路的相量分析法例4.26图4.44所示电路中已知数据同例4.25，使用节点法求各支路电流。解

以b点为参考节点，各支路电流参考方向如图所示4.12.1瞬时功率p如图4.45所示，设通过负载的电流为

4.12正弦电流电路的功率图4.45功率加在负载两端的电压为负载吸收的瞬时功率为2、瞬时功率波形图1、瞬时功率4.12.2有功功率一个周期内瞬时功率的平均值称为“平均功率”，或称“有功功率”，用字母“P”表示，即

图4.46瞬时功率波形图4.12正弦电流电路的功率所以有

称作负载的“功率因数”4.12.3无功功率Q1、无功功率的定义为2、在既有电感又有电容的电路中，总的无功功率等于两者的代数和，即4.12正弦电流电路的功率

4.12.4视在功率S电机和变压器的容量是由他们的定额电压和定额电流来决定的。因此往往可以用视在功率来表示。视在功率的定义为即视在功率为电路中的电压和电流有效值的乘积。单位为伏安(VA)，工程上也常用千伏安(kVA)表示。4.12正弦电流电路的功率

4.12.5功率三角形图4.47功率三角形4.12正弦电流电路的功率例4.27

已知一阻抗Z上的电压，电流分别为(电压电流的参考方向一致)，求Z、。解

4.12正弦电流电路的功率4.12正弦电流电路的功率例4.28

已知40W的日光灯电路如图4.48所示，在的电压下，电流值为，求该日光灯的功率因数及所需的无功功率Q。

图4.48例4.28图解

因为所以由于是电感性电路，所以电路中的无功功率为4.12正弦电流电路的功率例4.29用三表法测量一个线圈的参数，如图4.49所示，得下列数据：电压表的读数为50V，电流表的读数为30W，试求该线圈的参数R和L(电源的频率为50Hz)图4.49例4.29图4.12正弦电流电路的功率解

选为关联参考方向，如图4.49所示，根据求得线圈的阻抗由于所以则4.13.1功率因数提高的意义在交流电路中，一般负载多为电感性负载，例如常用的交流感应电动机，日光灯等，通常它们的功率因数都比较低。交流感应电动机在额定负载时，功率因数约在0.8~0.85，轻载时只有0.4~0.5，空载时更低，仅为0.2~0.3，不装电容器的日光灯的功率因数为0.45~0.60左右。

4.13功率因数的提高功率因数低产生的不良后果(1)电源设备的容量不能得到到充分的利用(2)增加了线路上的功率损耗和电压降。4.13.2提高功率因数的方法

图4.50功率因数的提高4.13功率因数的提高一方面是提高自然功率因数，主要办法有改进电动机的运行条件，合理选择电动机的容量，或采用同步电动机等措施。另一方面是采用人工补偿，也叫无功补偿。就是在通常广泛应用的电感性电路中，人为的并联电容性负载，利用电容性负载的超前电流来补偿之后的电感性电流，以达到提高功率因数的目的。用并联电路来提高功率因数，一般补偿到