MATLAB实现迭代法最佳松弛因子的选取

迭代法最佳松弛因子的选取一、 问题提出：-43 0一针对矩阵A=34-1,b=[24;30;-24],用SOR迭代求解。并选出最佳0-142 2 …_一松弛因子。理论分析①="J：p(j)=]+j]20.625牝1-24。做出P(幻)关于①函数的图像。二、 理论基础选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵M=-1(D-wL),w其中w>0为可选择的松弛因子.于是，由 Ix(0)(初始向量)(k=0,1,…,)可构造一个迭代法，其迭代X(k+1)=Bx(k)+f矩阵为L三I-w(D-wL)-1A=(D—wL)-1((1—w)D+wU).从而得到解Ax=b的主次逐次超松弛迭代法.解Ax二b的SOR方法为Ix(0)(初始向量)< (k=0,1，…，)(1)X(k+1)=Bx(k)+f其中L=(D-wL)-1((1-w)D+wU).(2)wf=w(D一wL)-1b下面给出解Ax=b的SOR迭代法的分量计算公式.记X(k)=(X(k),...,X(k),...,X(k))T,由(1)式可得(D一wL)=x(k+1)=((1一w)D+wU)x(k)+wb,Dx(k+1)=Dx(k)+w(b+Lx(k+1)+Ux(k)一Dx(k)). (3)由此,得到解Ax=b的SOR方法的计算公式

X(0)=(X(0)=(X：0*...,X(°))T,x(k+1)=x(k)+w(b—切i i iaxk+1ijjj=1—£ax(k))/a/、ijjii(4)j=i(i=1,2,...,n;k=0,1),w为松弛因子.x(0)=(x：0'...,x(0))T,x.(k+1)=x.(k)+Ax.,.<Ax=w(b一切ax(k+1)-^^nax(k)/a)(5)iiijjijjiij=1 j=i(i=1,2,...,n;k=0,1,...),w为松弛因子.淤若要求选取出最佳松弛因子，则有两种方法：⑴、给出w的最佳范围，当取不同的w值时，会求出不同的谱半径R的值，然后判断出值最小的谱半径。那么这个最小的谱半径所对应的w，即为所求最佳松弛因子。⑵、给出w的最佳范围，当取不同的w值时，由（2）式进行迭代，看它们在相同精度范围内的迭代次数，找出迭代次数最低的那一个，其所应用的w即为最佳松弛因子。三、实验内容：松弛因子、谱半径和迭代次数的关系:w1Rh3130302928272626wRh2525242323222121wRh2019191817161515wRh14151515151515从表格中可以看出，迭代次数随着松弛因子的增长而呈现先减后增的趋势，当谱半径最小时，其迭代次数最小。则表示出谱半径最小时，其松弛因子为最佳松弛因子。w和R的关系图如下:图像中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径。从图中可以看出，随着松弛因子的增长，谱半径先是呈递减趋势，当达到最小值时，呈上升趋势。结果分析:通过这次的实验，我们知道了关于怎样选取最佳松弛因子的方法和理论。了解了最佳松弛因子与系数矩阵谱半径之间的关系，即谱半径越小那么其所对应的松弛因子越佳，且迭代次数越小。所得结果与理论结果相符，即最佳松弛因子是，表格及图象显示出，越接近理论值，误差越小！参考文献数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001,清华大学出版社。数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社。附录：程序如下：A=[4,3,0;3,4,-1;0,-1,4];%系数矩阵％b=[24;30;-24];D二diag(diag(A));%A的对角矩阵％U=-triu(A,1);%A上三角矩阵％L=-tril(A,-1);%A的下三角矩阵％m=[];t=[]; %创建两个空矩阵分别存放相对应的谱半径和记录迭代次数%forw=1::; %取可的值％q=(D-w*L);p=inv(q);%求4的逆％lw=p*((1-w)*D+w*U); %求得迭代矩阵％V二eig(lw); %计算迭代矩阵的特征向量％R=max(abs(V)); %找出绝对值最大的谱半径％m=[m,R];plot(w,R,'o'); %画出w和R的关系图％holdon仁(D-w*L)\b*w;x0=[0;0;0]; %取迭代初值％y=lw*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=%迭代条件％f=(D-w*L)\b*w;x0=y;y=lw*x0+f;n=n+1;endt=[t,n];end[h,k]=min(t); %h记录最小的迭代次数，k记录第几个数最小％求解过程g=